4. Приведите многочлен h(x)=x³+kx²+x+21 к каноническому виду с использованием деления «уголком». Найдите все корни

Денис_7190

58

Хорошо! Давайте решим задачу по поиску канонического вида многочлена и нахождению его корней.

Многочлен h(x)=x³+kx²+x+21 должен быть приведен к каноническому виду, где степени многочлена меньше или равны. Чтобы это сделать, мы воспользуемся делением «уголком».

Шаг 1: Посмотрим на самую высокую степень многочлена h(x), которая в данном случае равна 3. Это значит, что у нас будет деление многочлена на многочлен вида (x - a), где a -- возможный корень многочлена.

Мы можем попробовать различные значения a, начиная с целых чисел, чтобы найти корень этого многочлена.

Шаг 2: Выберем первое значение a, например, a=1, и разделим многочлен h(x) на (x - 1) с помощью деления «уголком».

x² + (k + 1)x + 21
--------------------------------
x - 1 | x³ + kx² + x + 21

- (x³ - x²)
---------------
kx² + x
- (kx² - k)
---------------
x + 21
- (x - 21)
------------
0

Шаг 3: Мы получили остаток равный 0, что означает, что (x - 1) является одним из корней многочлена h(x). Теперь разделим полученный квадратный трехчлен на (x - 1), чтобы определить другой множитель.

Мы можем использовать метод деления «уголком» для деления x² + (k + 1)x + 21 на (x - 1).

x + k + 22
-------------------------
x - 1 | x² + (k + 1)x + 21

- (x² - x)
-----------------
kx + 21
- (kx - k)
-----------------
21 + k
- (21 + k)
--------------
0

Шаг 4: Мы получили остаток равный 0, значит (x - 1) и (x + k + 22) являются множителями многочлена h(x).

Теперь выразим многочлен h(x) в каноническом виде, используя его множители:
h(x) = (x - 1)(x + k + 22)

Шаг 5: Чтобы найти значения k и другие возможные корни многочлена, можно использовать информацию о множителях и остатках от деления.

Мы знаем, что одним из корней многочлена является x = 1. Теперь мы должны использовать это знание, чтобы найти значение k.

Если подставить x = 1 в оба множителя h(x), то получим:
0 = (1 - 1)(1 + k + 22)
0 = (k + 23)

Таким образом, мы находим, что k = -23.

Итак, канонический вид многочлена h(x) равен:
h(x) = (x - 1)(x - 23)

Корни многочлена равны x = 1 и x = 23.

Это полный ответ на задачу. Найденные корни могут быть использованы для дальнейшего анализа этого многочлена.