40.10 (1.2) Сформулируйте доказательство того, что значение выражения не зависит от возможных значений переменной

Zolotoy_Vihr

22

Доказательство того, что значение выражения не зависит от возможных значений переменной, состоит из ряда математических операций и упрощений. В данном случае, мы будем рассматривать два выражения и доказывать их эквивалентность независимо от значений переменной.

1) Рассмотрим выражение:
\(а^2 - 1 + 7а - 7б \div (а - б) - (а^2 + а)\)

Для доказательства независимости от значений переменной, мы упростим данное выражение, используя свойства алгебры.

а) Выполним деление:
\(7а - 7б \div (а - б)\)

Обратим внимание, что деление на \(а - б\) обратится в умножение на его обратную величину. Таким образом, мы можем переписать данное выражение следующим образом:

\(7а - 7б \times \frac{1}{(а - б)}\)

\(7а - \frac{7б}{(а - б)}\)

б) Объединим слагаемые похожего характера:
\(7а + (-1а) = 6а\)

также сократим дробь:
\(- \frac{7б}{(а - б)} = - \frac{7б}{(б - а)}\) (поменяли порядок а и б)

Итак, наше исходное выражение теперь выглядит так:
\(а^2 - 1 + 6а - \frac{7б}{(б - а)} - (а^2 + а)\)

в) Упростим последнюю часть выражения:
\(- (а^2 + а) = - а^2 - а\)

г) Объединим слагаемые похожего характера:
\(-1 + (-а) = -1 - а\)

Итак, исходное выражение теперь принимает вид:
\(6а - а^2 - 1 - а - \frac{7б}{(б - а)}\)

д) Мы можем переставить слагаемые в любом порядке, исключительно для удобства чтения и упрощения выражения. Поэтому, объединим слагаемые \(6а\) и \(-а\) и упростим:
\(6а - а = 5а\)

также объединим слагаемые \(-1\) и \(-а\):
\(-1 - а = -1 - а\)

Таким образом, наше выражение примет окончательный вид:
\(5а - а^2 - 1 - а - \frac{7б}{(б - а)}\)

или в другом порядке:
\(-1 - а - а^2 + 5а - \frac{7б}{(б - а)}\)

Окончательный ответ:
\(5а - а^2 - 1 - а - \frac{7б}{(б - а)}\) или \(-1 - а - а^2 + 5а - \frac{7б}{(б - а)}\)

2) Рассмотрим следующее выражение:
\((х + 3)^2 \times (х^2 - 4) \div (2 \times 2х - 4) \times (3х + 9) \times (х + 3) \times (х + 2)\)

а) Выполним возведение в квадрат:
\((х + 3)^2 = х^2 + 6х + 9\)

б) Раскроем скобки:
\((х^2 - 4) = х^2 - 4\)

в) Раскроем скобки:
\((3х + 9) = 3х + 9\)

г) Объединим подобные слагаемые:
\(2х - 4 + 4 = 2х\)

д) Упростим произведение:
\( \frac{(х + 3)^2 \times (х^2 - 4)}{(2 \times 2х - 4)} = \frac{(х^2 + 6х + 9) \times (х^2 - 4)}{2х}\)

е) Раскроем скобки в числителе:
\((х^2 + 6х + 9) \times (х^2 - 4) = (х^2 - 4)х^2 + (х^2 - 4)6х + (х^2 - 4)9\)

ж) Упростим множители:
\((х^2 - 4)х^2 = х^4 - 4х^2\)
\((х^2 - 4)6х = 6х^3 - 24х\)
\((х^2 - 4)9 = 9х^2 - 36\)

з) Вернемся к исходному выражению и упростим:
\( \frac{(х^2 - 4)х^2 + (х^2 - 4)6х + (х^2 - 4)9}{2х} \times (3х + 9) \times (х + 3) \times (х + 2)\)

и) Раскроем скобки:
\( \frac{(х^4 - 4х^2) + (6х^3 - 24х) + (9х^2 - 36)}{2х} \times (3х + 9) \times (х + 3) \times (х + 2)\)

е) Упростим числитель:
\(х^4 - 4х^2 + 6х^3 - 24х + 9х^2 - 36\)

ж) Объединим подобные слагаемые:
\(х^4 + 6х^3 + (9х^2 - 4х^2) - 24х - 36 = х^4 + 6х^3 + 5х^2 - 24х - 36\)

з) Раскроем скобки:
\(х^4 + 6х^3 + 5х^2 - 24х - 36 \times 3х \times (х + 3) \times (х + 2)\)

и) Упростим произведение:
\(3х \times (х + 3) \times (х + 2) = 3х^3 + 9х^2 + 6х^2 + 18х + 6х + 18\)

к) Объединим подобные слагаемые:
\(х^4 + 6х^3 + 5х^2 - 24х - 36 \times 3х \times (х + 3) \times (х + 2) = х^4 + 6х^3 + 11х^2 + 30х + 18\)

Окончательный ответ:
\(х^4 + 6х^3 + 11х^2 + 30х + 18\)