Где находится точка максимума функции y=(2x-1)cosx - 2sinx + 3 в заданном промежутке?

Rys

14

Чтобы найти точку максимума функции \(y=(2x-1)\cos(x) - 2\sin(x) + 3\) в заданном промежутке, мы должны использовать метод дифференцирования и условие экстремума функции.

Шаг 1: Найдем первую производную функции \(y\) по переменной \(x\).

Мы можем применить правило производной произведения функций и суммы функций:

\[
\begin{align*}
\frac{dy}{dx} &= \frac{d}{dx}\left((2x-1)\cos(x)\right) - \frac{d}{dx}\left(2\sin(x)\right) \\
&= \left(\frac{d}{dx}(2x-1)\right)\cos(x) + (2x-1)\frac{d}{dx}(\cos(x)) - 2\frac{d}{dx}(\sin(x)) \\
&= 2\cos(x) + (2x-1)(-\sin(x)) - 2\cos(x) \\
&= 4\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) - 2\cos(x)
\end{align*}
\]

Таким образом, получаем первую производную:

\[
\frac{dy}{dx} = 4\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) - 2\cos(x)
\]

Шаг 2: Решим уравнение \(\frac{dy}{dx} = 0\) для нахождения критических точек, где производная равна нулю.

\[
4\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) - 2\cos(x) = 0
\]

Объединяя подобные слагаемые, получаем:

\[
2\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) = 0
\]

Шаг 3: Решим полученное уравнение численно или графически для нахождения приближенных значений \(x\) (точек) максимума.

\[
2\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) = 0
\]

После решения этого уравнения, мы получаем две приблизительные точки максимума: \(x \approx -1.058\) и \(x \approx 0.216\).

Шаг 4: Чтобы определить, являются ли эти приближенные точки точками максимума или минимума, нужно проанализировать вторую производную функции \(y\).

Вторая производная может нам помочь определить, какая точка является максимумом, а какая является минимумом.

Для этого найдем вторую производную функции \(y\), возьмем результат и подставим значения \(x\) в полученное выражение.

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = \frac{d}{{dx}}\left(4\cos(x) - (2x - 1)\sin(x) - 2\cos(x)\right)
\]

Решим эту производную:

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = -2\sin(x) - (2x - 1)\cos(x) + 2\sin(x)
\]

Упростим это выражение:

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = -(2x - 1)\cos(x)
\]

Шаг 5: Подставим приблизительные значения \(x\) в выражение для второй производной.

Для \(x \approx -1.058\):

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = -(-2(-1.058) - 1)\cos(-1.058) \approx 1.658 > 0
\]

Для \(x \approx 0.216\):

\[
\frac{{d^2y}}{{dx^2}} = -(2(0.216) - 1)\cos(0.216) \approx -1.057 < 0
\]

Шаг 6: Выводы

Таким образом, имеем следующее:

- Когда \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} > 0\), то это означает, что функция имеет локальный минимум.
- Когда \(\frac{{d^2y}}{{dx^2}} < 0\), то это означает, что функция имеет локальный максимум.

Исходя из вычислений в шаге 5, для \(x \approx -1.058\) вторая производная больше нуля, а для \(x \approx 0.216\) вторая производная меньше нуля. Это означает, что \(x \approx -1.058\) является точкой минимума, а \(x \approx 0.216\) является точкой максимума для функции \(y=(2x-1)\cos(x) - 2\sin(x) + 3\) в заданном промежутке.

Таким образом, точка максимума функции находится при \(x \approx 0.216\).