Какова вероятность того, что во втором шкафу осталось 6 ампул с лекарством, если в каждом из двух шкафов лежит

Волк

7

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать вероятность условной вероятности.

Давайте определим некоторые события:
\(A\) - во втором шкафу осталось 6 ампул с лекарством
\(B\) - коробка из выбранного шкафа оказалась пустой

Мы ищем вероятность события \(A\) при условии события \(B\), обозначаемую как \(P(A|B)\).

Воспользуемся формулой условной вероятности:
\[P(A|B) = \frac{{P(A \cap B)}}{{P(B)}}\]

Сначала найдем вероятность события \(A \cap B\) (событие, когда во втором шкафу осталось 6 ампул и выбранная коробка оказалась пустой).

Поскольку есть два шкафа, вероятность выбрать второй шкаф равна \(P(второй\_шкаф) = \frac{1}{2}\).

Когда выбран второй шкаф, существует \(\binom{20}{10}\) равновозможных способов выбрать 10 ампул из 20 (из 10 ампул в первом шкафу и 10 ампул во втором шкафу). Теперь мы должны рассмотреть, каким образом можно выбрать 6 ампул из оставшихся 10 ампул во втором шкафу. Это можно сделать \(\binom{10}{6}\) способами.

Таким образом, вероятность события \(A \cap B\) равна \(\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}}\).

Теперь нам нужно найти вероятность события \(B\) (событие, когда выбранная коробка оказалась пустой). Вероятность пустой коробки для выбранного шкафа равна \(\frac{1}{10}\).

Теперь мы можем вычислить вероятность:
\[P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}}}{\frac{1}{10}}\]

Сократим выражение:

\[P(A|B) = \frac{\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}}}{\frac{1}{10}} = \frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}} \cdot 10\]

Выполним вычисления:

\[\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}} = \frac{\frac{10!}{6!(10-6)!}}{\frac{20!}{10!(20-10)!}} = \frac{\frac{10!}{6!4!}}{\frac{20!}{10!10!}}\]

\[\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}} = \frac{10! \cdot 10!}{6!4! \cdot 20!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11}\]

\[\frac{\binom{10}{6}}{\binom{20}{10}} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} \cdot \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11} \approx 0.0789\]

Таким образом, вероятность того, что во втором шкафу осталось 6 ампул с лекарством, при условии, что выбранная коробка оказалась пустой, составляет около 0.0789 или около 7.89%.