54.1. 1) Жасалған 6 тестерде 6 алдымен-ал тестілер жасалады. Бұл тестерлердің көрсетілген орынбасарлық әдістемесінің

Alisa

63

Хорошо, рассмотрим задачи по очереди.

54.1.1) В данной задаче нужно найти вероятность $P$, что при 6 испытаниях появление события $X$ произойдет 4 раза. У нас есть описание вероятности $p=0.6$.

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением вероятностей. Формула для этого распределения выглядит следующим образом:

$$P(X=k)=C_n^k\cdot p^k\cdot q^{n-k}$$

Где:
- $P(X=k)$ обозначает вероятность того, что событие $X$ произошло ровно $k$ раз,
- $C_n^k$ обозначает число сочетаний из $n$ по $k$ (число способов выбрать $k$ элементов из $n$),
- $p$ обозначает вероятность появления события $X$ в одном испытании,
- $q=1-p$ обозначает вероятность того, что событие $X$ не произошло в одном испытании,
- $n$ обозначает общее число испытаний.

В данной задаче нам нужно найти вероятность произошествия 4 раза, то есть $k=4$, и мы знаем, что всего произведено 6 испытаний.

Подставим данные значения в формулу:

$$P(X=4)=C_6^4\cdot {0.6}^4\cdot (1-0.6{)}^{6-4}=15\cdot {0.6}^4\cdot {0.4}^2$$

Выполнив простые вычисления, получаем:

$$P(X=4)=15\cdot 0.1296\cdot 0.16\approx 0.311$$

Таким образом, вероятность того, что событие $X$ произойдет ровно 4 раза при 6 испытаниях, равна примерно 0.311.

54.1.2) В данной задаче нужно найти вероятность $P$, что при 8 испытаниях появление события $X$ произойдет 5 раз. У нас есть описание вероятности $p=0.7$.

Аналогично предыдущей задаче, воспользуемся биномиальным распределением вероятностей. Подставим данные значения в формулу:

$$P(X=5)=C_8^5\cdot {0.7}^5\cdot (1-0.7{)}^{8-5}=56\cdot {0.7}^5\cdot {0.3}^3$$

Выполнив вычисления, получаем:

$$P(X=5)=56\cdot 0.16807\cdot 0.027=0.2607$$

Таким образом, вероятность того, что событие $X$ произойдет ровно 5 раз при 8 испытаниях, равна примерно 0.2607.

54.2) В данной задаче нужно найти вероятность $P$, что при 10 розыгрышах игры появление события $X$ произойдет не более 2 раз.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для суммы вероятностей биномиального распределения:

$$P(X\le k)=\sum _{i=0}^{k}P(X=i)=\sum _{i=0}^k{C}_n^i\cdot p^i\cdot q^{n-i}$$

Где:
- $P(X\le k)$ обозначает вероятность того, что событие $X$ произойдет не более $k$ раз,
- $C_n^i$ обозначает число сочетаний из $n$ по $i$ (число способов выбрать $i$ элементов из $n$),
- $p$ обозначает вероятность появления события $X$ в одном розыгрыше,
- $q=1-p$ обозначает вероятность того, что событие $X$ не произошло в одном розыгрыше,
- $n$ обозначает общее число розыгрышей.

В данной задаче нам нужно найти вероятность не более 2 раз, то есть $k=2$, и мы знаем, что всего произведено 10 розыгрышей.

Подставим данные значения в формулу и выполним вычисления:

$$P(X\le 2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$$

$$P(X\le 2)=C_{10}^0\cdot p^0\cdot q^{10}+C_{10}^1\cdot p^1\cdot q^9+C_{10}^2\cdot p^2\cdot q^8$$

Выполнив вычисления, получаем:

$$P(X\le 2)=0.0282+0.1211+0.2335=0.3828$$

Таким образом, вероятность того, что событие $X$ произойдет не более 2 раз при 10 розыгрышах игры, равна примерно 0.3828.

Надеюсь, мои объяснения были понятными и полезными. Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте!