54.1. 1) Жасалған 6 тестерде 6 алдымен-ал тестілер жасалады. Бұл тестерлердің көрсетілген орынбасарлық әдістемесінің

Alisa

63

Хорошо, рассмотрим задачи по очереди.

54.1.1) В данной задаче нужно найти вероятность \(P\), что при 6 испытаниях появление события \(X\) произойдет 4 раза. У нас есть описание вероятности \(p = 0.6\).

Для решения этой задачи воспользуемся биномиальным распределением вероятностей. Формула для этого распределения выглядит следующим образом:

\[P(X=k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}\]

Где:
- \(P(X=k)\) обозначает вероятность того, что событие \(X\) произошло ровно \(k\) раз,
- \(C_n^k\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(k\) (число способов выбрать \(k\) элементов из \(n\)),
- \(p\) обозначает вероятность появления события \(X\) в одном испытании,
- \(q = 1 - p\) обозначает вероятность того, что событие \(X\) не произошло в одном испытании,
- \(n\) обозначает общее число испытаний.

В данной задаче нам нужно найти вероятность произошествия 4 раза, то есть \(k = 4\), и мы знаем, что всего произведено 6 испытаний.

Подставим данные значения в формулу:

\[P(X=4) = C_6^4 \cdot 0.6^4 \cdot (1-0.6)^{6-4} = 15 \cdot 0.6^4 \cdot 0.4^2\]

Выполнив простые вычисления, получаем:

\[P(X=4) = 15 \cdot 0.1296 \cdot 0.16 \approx 0.311\]

Таким образом, вероятность того, что событие \(X\) произойдет ровно 4 раза при 6 испытаниях, равна примерно 0.311.

54.1.2) В данной задаче нужно найти вероятность \(P\), что при 8 испытаниях появление события \(X\) произойдет 5 раз. У нас есть описание вероятности \(p = 0.7\).

Аналогично предыдущей задаче, воспользуемся биномиальным распределением вероятностей. Подставим данные значения в формулу:

\[P(X=5) = C_8^5 \cdot 0.7^5 \cdot (1-0.7)^{8-5} = 56 \cdot 0.7^5 \cdot 0.3^3\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[P(X=5) = 56 \cdot 0.16807 \cdot 0.027 = 0.2607\]

Таким образом, вероятность того, что событие \(X\) произойдет ровно 5 раз при 8 испытаниях, равна примерно 0.2607.

54.2) В данной задаче нужно найти вероятность \(P\), что при 10 розыгрышах игры появление события \(X\) произойдет не более 2 раз.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой для суммы вероятностей биномиального распределения:

\[P(X \leq k) = \sum_{i=0}^{k} P(X=i) = \sum_{i=0}^{k} C_n^i \cdot p^i \cdot q^{n-i}\]

Где:
- \(P(X \leq k)\) обозначает вероятность того, что событие \(X\) произойдет не более \(k\) раз,
- \(C_n^i\) обозначает число сочетаний из \(n\) по \(i\) (число способов выбрать \(i\) элементов из \(n\)),
- \(p\) обозначает вероятность появления события \(X\) в одном розыгрыше,
- \(q = 1 - p\) обозначает вероятность того, что событие \(X\) не произошло в одном розыгрыше,
- \(n\) обозначает общее число розыгрышей.

В данной задаче нам нужно найти вероятность не более 2 раз, то есть \(k = 2\), и мы знаем, что всего произведено 10 розыгрышей.

Подставим данные значения в формулу и выполним вычисления:

\[P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)\]

\[P(X \leq 2) = C_{10}^0 \cdot p^0 \cdot q^{10} + C_{10}^1 \cdot p^1 \cdot q^9 + C_{10}^2 \cdot p^2 \cdot q^8\]

Выполнив вычисления, получаем:

\[P(X \leq 2) = 0.0282 + 0.1211 + 0.2335 = 0.3828\]

Таким образом, вероятность того, что событие \(X\) произойдет не более 2 раз при 10 розыгрышах игры, равна примерно 0.3828.

Надеюсь, мои объяснения были понятными и полезными. Если остались вопросы, пожалуйста, задавайте!