74. Какова длина стороны QR в треугольнике PQR, площадь которого равна 12 и известно, что PQ равняется 3, а угол

Yantarka

53

Задача 74:
Для решения данной задачи мы можем воспользоваться формулой площади треугольника через стороны и углы:

\[S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin{\gamma},\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\) и \(b\) - длины сторон треугольника, а \(\gamma\) - угол между этими сторонами.

Из условия задачи у нас известна площадь треугольника \(S = 12\), длина стороны \(PQ = 3\) и угол PQR = 30 градусов. Нам нужно найти длину стороны QR.

Подставим известные значения в формулу площади:

\[12 = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot QR \cdot \sin{30^\circ}.\]

Чтобы найти длину стороны QR, перепишем уравнение:

\[QR = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot \sin{30^\circ}}.\]

Вычислим значение синуса 30 градусов:

\[\sin{30^\circ} = \frac{1}{2}.\]

Теперь подставим это значение в уравнение и выполним вычисления:

\[QR = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot \frac{1}{2}} = \frac{24}{3} = 8.\]

Таким образом, длина стороны QR в треугольнике PQR равна 8.

Задача 75:
Чтобы найти площадь треугольника LMN, нам необходимо знать его периметр и радиус вписанной окружности. Дано, что периметр треугольника равен 60, а радиус вписанной окружности равен 5.

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

\[P = LM + MN + NL = 60.\]

Также мы знаем, что радиус вписанной окружности связан с площадью треугольника следующим образом:

\[r = \frac{S}{p},\]

где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(S\) - площадь треугольника, \(p\) - полупериметр треугольника (\(p = \frac{P}{2}\)).

Подставим известные значения в формулу радиуса вписанной окружности:

\[5 = \frac{S}{\frac{60}{2}}.\]

Получим уравнение:

\[S = 5 \cdot \frac{60}{2} = 150.\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника, мы знаем, что:

\[S = \frac{1}{2} \cdot LM \cdot MN \cdot \sin{\alpha},\]

где \(\alpha\) - угол между сторонами LM и MN. Однако, у нас нет информации об этом угле. Поэтому мы не можем определить площадь треугольника только на основе имеющихся данных.

Задача 76:
Чтобы найти площадь треугольника, изображенного на рисунке 46, мы можем воспользоваться формулой для вычисления площади треугольника через радиус описанной окружности и стороны треугольника:

\[S = \frac{a \cdot b \cdot c}{4R},\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(a\), \(b\), \(c\) - длины сторон треугольника, \(R\) - радиус описанной окружности.

Из условия задачи известны радиус описанной окружности \(R = 8\) и равенства \(15 = a = c\).

Подставим известные значения в формулу площади:

\[S = \frac{15 \cdot b \cdot 15}{4 \cdot 8} = \frac{225 \cdot b}{32}.\]

Однако, по условию задачи нет информации о длине стороны \(b\). Поэтому мы не можем найти площадь треугольника только на основе имеющихся данных.