Каков объем конуса с радиусом основания 3 см, если его боковая поверхность составляет 15π см^2?

Kedr

60

Хорошо! Давайте рассмотрим пошаговое решение задачи.

Формула для вычисления боковой поверхности конуса: \(S_{\text{бок}} = \pi \times r \times l\), где \(r\) - радиус основания, \(l\) - образующая конуса.

По условию, боковая поверхность составляет 15π см\(^2\), а радиус основания равен 3 см. Обозначим образующую конуса как \(l\).

Подставляя известные значения в формулу, получим: \(15\pi = \pi \times 3 \times l\).

Сокращая \(\pi\) на обеих сторонах уравнения, получим: \(15 = 3l\).

Делим обе части уравнения на 3, чтобы найти значение образующей конуса: \(l = \frac{15}{3} = 5\) (см).

Теперь, чтобы найти объем конуса, воспользуемся формулой: \(V = \frac{1}{3} \times \pi \times r^2 \times h\), где \(r\) - радиус основания и \(h\) - высота конуса.
В данной задаче, высота конуса будет равна его образующей \(l\), а радиус основания - 3 см.

Подставим значения в формулу: \(V = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 5\).

Выполняя вычисления, получаем: \(V = \frac{1}{3} \times \pi \times 9 \times 5\).

Упрощая, получим: \(V = \frac{45}{3} \pi\).

Далее, сокращаем дробь: \(V = 15\pi\).

Таким образом, объем конуса с радиусом основания 3 см и боковой поверхностью 15π см\(^2\) равен 15π кубических сантиметров.