8. Какова длина основания равнобедренного треугольника, если его площадь равна 3√3 и между медианами, проведенными

Puma

33

Чтобы решить данную задачу, нам понадобятся знания о свойствах равнобедренных треугольников, а также о формуле для площади треугольника. Давайте разберемся пошагово:

1. Обозначим длину основания равнобедренного треугольника как \(b\).
2. По условию задачи, площадь треугольника равна \(3\sqrt{3}\). Мы можем использовать формулу для площади треугольника:

\[
S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot b,
\]

где \(S\) - площадь треугольника, \(h\) - высота треугольника, \(b\) - длина основания. В нашем случае, площадь равна \(3\sqrt{3}\), поэтому мы можем записать:

\[
3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot b.
\]

3. У нас имеется две медианы, проведенные к боковым сторонам треугольника. Между ними образуется угол, равный 60°.
Свойство равнобедренных треугольников гласит, что медиана, проведенная к основанию, делит угол между боковыми сторонами на две равные части. Таким образом, у нас получается, что угол между медианами, проведенными к боковым сторонам, равен 60°, а значит, каждый из углов, образованных этими медианами, равен \(\frac{1}{2} \cdot 60° = 30°\).

4. Мы можем использовать свойства треугольника и тригонометрию, чтобы найти высоту треугольника. В данном случае, мы можем использовать тангенс угла 30°:

\[
\tan(30°) = \frac{h}{\frac{b}{2}}.
\]

5. Подставляем известные значения и решаем полученное уравнение:

\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{\frac{b}{2}} \Rightarrow h = \frac{b}{2\sqrt{3}}.
\]

6. Подставляем найденное значение \(h\) в уравнение для площади треугольника:

\[
3\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot \frac{b}{2\sqrt{3}} \cdot b \Rightarrow 3\sqrt{3} = \frac{b^2}{4\sqrt{3}}.
\]

7. Домножаем обе части уравнения на \(4\sqrt{3}\), чтобы избавиться от знаменателя:

\[
12 = b^2.
\]

8. Находим квадратный корень от обеих частей уравнения:

\[
b = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
\]

Ответ: Длина основания равнобедренного треугольника равна \(2\sqrt{3}\).