84 independent work on the topic: graphing a quadratic function Variant 1: 1. Find the coordinates of the vertex

Ледяной_Взрыв

47

Решение:

1. Найдем координаты вершины параболы по указанным уравнениям.

a) Уравнение параболы: \(y = -x^2 - 4x + 5\)

Чтобы найти координаты вершины, мы можем использовать формулу \(-\frac{b}{2a}\), где \(a\) и \(b\) - коэффициенты перед \(x^2\) и \(x\) соответственно.

В данном случае, \(a = -1\) и \(b = -4\).
Теперь можем подставить значения в формулу:

\(x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2(-1)}\)
\(x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{-2} = 2\)

Для нахождения \(y_{\text{вершины}}\), подставим \(x_{\text{вершины}}\) в уравнение параболы:

\(y_{\text{вершины}} = -(2)^2 - 4(2) + 5\)
\(y_{\text{вершины}} = -4 - 8 + 5 = -7\)

Таким образом, координаты вершины параболы \(y = -x^2 - 4x + 5\) равны (2, -7).

b) Уравнение параболы: \(y = 2x^2 - 4x - 6\)

Аналогично предыдущему примеру, найдем координаты вершины параболы:

\(x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{2(2)}\)
\(x_{\text{вершины}} = -\frac{-4}{4} = 1\)

\(y_{\text{вершины}} = 2(1)^2 - 4(1) - 6\)
\(y_{\text{вершины}} = 2 - 4 - 6 = -8\)

Координаты вершины параболы \(y = 2x^2 - 4x - 6\) равны (1, -8).

c) Уравнение параболы: \(y = 0.5x^2 + 3x + 2.5\)

Аналогично предыдущим примерам, найдем координаты вершины параболы:

\(x_{\text{вершины}} = -\frac{3}{2(0.5)}\)
\(x_{\text{вершины}} = -\frac{3}{1} = -3\)

\(y_{\text{вершины}} = 0.5(-3)^2 + 3(-3) + 2.5\)
\(y_{\text{вершины}} = 0.5(9) - 9 + 2.5 = -2\)

Координаты вершины параболы \(y = 0.5x^2 + 3x + 2.5\) равны (-3, -2).

d) Уравнение параболы: \(y = -x^2 + 2x\)

Аналогично предыдущим примерам, найдем координаты вершины параболы:

\(x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{2(-1)}\)
\(x_{\text{вершины}} = -\frac{2}{-2} = 1\)

\(y_{\text{вершины}} = -(1)^2 + 2(1)\)
\(y_{\text{вершины}} = -1 + 2 = 1\)

Координаты вершины параболы \(y = -x^2 + 2x\) равны (1, 1).

2. Нарисуем график квадратичной функции.

a) Уравнение функции: \(y = x^2 - 2x + 1\)

Для построения графика возьмем несколько значений \(x\) и найдем соответствующие им значения \(y\).

\[
\begin{align*}
x &= -1, \quad y = (-1)^2 - 2(-1) + 1 = 4 \\
x &= 0, \quad y = (0)^2 - 2(0) + 1 = 1 \\
x &= 1, \quad y = (1)^2 - 2(1) + 1 = 0 \\
x &= 2, \quad y = (2)^2 - 2(2) + 1 = 1 \\
x &= 3, \quad y = (3)^2 - 2(3) + 1 = 4 \\
\end{align*}
\]

Полученные значения пар \(x\) и \(y\) позволяют построить график на координатной плоскости. Точки (-1, 4), (0, 1), (1, 0), (2, 1), (3, 4) лежат на параболе \(y = x^2 - 2x + 1\). Соединив эти точки гладкой кривой, получим график параболы.

b) Вы хотели продолжить задание, но вашу просьбу обрезало, и осталось только "b)". Пожалуйста, продолжите вопрос.