А=(2;1;0) және в=(0;2;3) векторларына перпендикуляр болатын кез келген векторды табу үшін не істеп отырып бола аласыз?

Yard

28

Для того чтобы найти вектор, перпендикулярный данному, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения двух перпендикулярных векторов. Скалярное произведение двух перпендикулярных векторов всегда равно нулю.

Для начала, найдем скалярное произведение данных векторов A и B:

\(\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (2 \cdot 0) + (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) = 0 + 2 + 0 = 2\)

Мы видим, что скалярное произведение не равно нулю, значит вектор B не является перпендикулярным к вектору A.

Теперь воспользуемся этой информацией, чтобы найти требуемый вектор C. Для этого мы можем использовать проекцию вектора B на плоскость, перпендикулярную вектору A.

Сначала найдем проекцию вектора B на вектор A. Проекция вектора B на вектор A равна произведению скалярного произведения векторов A и B на вектор A, деленному на квадрат длины вектора A:

\(\mathbf{P} = \frac{{\mathbf{A} \cdot \mathbf{B}}}{{\|\mathbf{A}\|^2}} \cdot \mathbf{A}\)

\(\mathbf{P} = \frac{{2}}{{2^2 + 1^2 + 0^2}} \cdot (2;1;0)\)

\(\mathbf{P} = \frac{{2}}{{5}} \cdot (2;1;0)\)

\(\mathbf{P} = \left(\frac{{4}}{{5}};\frac{{2}}{{5}};0\right)\)

Теперь вычтем проекцию вектора B на вектор A из вектора B, чтобы получить вектор C, перпендикулярный вектору A:

\(\mathbf{C} = \mathbf{B} - \mathbf{P}\)

\(\mathbf{C} = (0;2;3) - \left(\frac{{4}}{{5}};\frac{{2}}{{5}};0\right)\)

\(\mathbf{C} = \left(0 - \frac{{4}}{{5}}; 2 - \frac{{2}}{{5}}; 3 - 0\right)\)

\(\mathbf{C} = \left(-\frac{{4}}{{5}}; \frac{{8}}{{5}}; 3\right)\)

Итак, вектор C, перпендикулярный векторам A и B, равен \(\left(-\frac{{4}}{{5}}; \frac{{8}}{{5}}; 3\right)\).