А-8, К- Square Equations , В-23. 1 0. Solve the equation: a) 3x^2 - x - 2 = 0; b) 5y^2 = 4y; c) x^2 - 16 = 0; d

Ящерица

12

Давайте решим каждую задачу по порядку.

1. a) Решим уравнение 3x^2 - x - 2 = 0. Для начала заметим, что данное уравнение является квадратным уравнением вида ax^2 + bx + c = 0, где a = 3, b = -1 и c = -2. Для решения квадратного уравнения, мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

Вычислим значение дискриминанта:

\(D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25\)

Так как значение дискриминанта больше нуля, у нас есть два корня. Далее, используем формулы для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\)
\(x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

Вычислим значения корней:

\(x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 + 5}{6} = \frac{6}{6} = 1\)
\(x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{25}}{2 \cdot 3} = \frac{1 - 5}{6} = \frac{-4}{6} = -\frac{2}{3}\)

Таким образом, корни уравнения 3x^2 - x - 2 = 0 равны x = 1 и x = -\frac{2}{3}.

b) Решим уравнение 5y^2 = 4y. Перенесем все слагаемые в левую часть уравнения:

5y^2 - 4y = 0

Далее, используем свойство квадратного уравнения, что при равенстве нулю произведения двух множителей один из них равен нулю:

y(5y - 4) = 0

То есть у нас есть два случая:

y = 0 или 5y - 4 = 0

Решим каждый случай по отдельности:

y = 0 - это один из корней.

Для уравнения 5y - 4 = 0 найдем еще один корень:

5y = 4 -> y = \frac{4}{5}

Таким образом, корни уравнения 5y^2 = 4y равны y = 0 и y = \frac{4}{5}.

c) Решим уравнение x^2 - 16 = 0. Перенесем 16 в правую часть:

x^2 = 16

Далее, возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения:

\sqrt{x^2} = \sqrt{16}

x = 4 или x = -4

Таким образом, корни уравнения x^2 - 16 = 0 равны x = 4 и x = -4.

d) Решим уравнение x^2 - 34x + 64 = 0. Мы можем попытаться разложить коэффициент при x на два числа, так чтобы их сумма давала -34, а их произведение равнялось 64.

Заметим, что 64 = (-8) * (-8) и -34 = (-8) + (-8). То есть можем записать уравнение в виде:

x^2 + (-8x) + (-8x) + 64 = 0

Далее, сгруппируем слагаемые:

(x^2 - 8x) + (-8x + 64) = 0

Выносим общие множители:

x(x - 8) - 8(x - 8) = 0

Общий множитель (x - 8) можно выделить:

(x - 8)(x - 8) = 0

(x - 8)^2 = 0

Таким образом, уравнение сводится к квадрату разности:

x - 8 = 0

x = 8

Таким образом, корень уравнения x^2 - 34x + 64 = 0 равен x = 8.

2. Для решения этой задачи используем свойства прямоугольника.

Пусть x - длина прямоугольника, y - ширина прямоугольника.

Известно, что периметр прямоугольника равен 82 см и площадь равна 420 см^2.

Периметр прямоугольника выражается через длину и ширину следующей формулой:

P = 2(x + y)

Подставляем известные значения:

82 = 2(x + y)

Разделим всю формулу на 2:

41 = x + y

Также известно, что площадь прямоугольника выражается через длину и ширину следующей формулой:

S = xy

Подставляем известные значения:

420 = xy

Теперь у нас есть система уравнений:

\begin{cases} 41 = x + y \\ 420 = xy \end{cases}

Решим эту систему уравнений. Для этого можно воспользоваться методом подстановки или методом приведения к квадратному уравнению.

Выберем метод подстановки. Разрешим одно из уравнений относительно x или y и подставим второе уравнение:

Из первого уравнения получаем:

x = 41 - y

Подставляем это во второе уравнение:

420 = (41 - y)y

Раскроем скобки:

420 = 41y - y^2

y^2 - 41y + 420 = 0

Разложим полученное квадратное уравнение на множители:

(y - 20)(y - 21) = 0

Из этого уравнения получаем два значения для y:

y = 20 или y = 21

Подставим эти значения обратно в первое уравнение:

x = 41 - y

для y = 20:

x = 41 - 20 = 21

для y = 21:

x = 41 - 21 = 20

Таким образом, длина прямоугольника может быть равна либо 20 см, а ширина - 21 см, либо наоборот - длина 21 см, а ширина - 20 см.

3. В задаче дано уравнение x^2 + px + 5 = 0 и известно, что один из его корней равен 1.

Если один из корней уравнения равен 1, то мы можем записать это уравнение в виде:

(x - 1)(x - k) = 0

где k - неизвестный корень уравнения.

Раскроем скобки:

x^2 - x - kx + k = 0

x^2 - (1 + k)x + k = 0

Из формулы квадратного уравнения, мы знаем, что сумма корней равна отрицательному коэффициенту при x, деленному на коэффициент a, а произведение корней равно свободному члену k, деленному на коэффициент a.

Таким образом, у нас появляются следующие равенства:

1 + k = -p (1)
k = 5 (2)

Из уравнения (2), находим значение k:

k = 5

Подставляем это значение в уравнение (1):

1 + 5 = -p

p = -6

Таким образом, неизвестный корень уравнения равен k = 5, а коэффициент p равен -6.