a) Какие значения x и y удовлетворяют уравнению x^2-6xy+8y^2=0? b) Какие значения x и y удовлетворяют уравнению

Лапуля_881

48

a) Для начала решим уравнение \(x^2 - 6xy + 8y^2 = 0\). Чтобы найти значения \(x\) и \(y\), которые удовлетворяют данному уравнению, нужно решить его. Обратим внимание на его вид и заметим, что он является квадратным уравнением относительно переменной \(x\). Для решения таких уравнений используется метод завершения квадрата.

Чтобы привести уравнение к форме завершённого квадрата, нам необходимо добавить и вычесть некоторое число. При этом мы должны учесть, что добавляемое и вычитаемое число должно сохранять равенство.

Исходное уравнение: \(x^2 - 6xy + 8y^2 = 0\)

Посмотрим на первые два члена \(x^2 - 6xy\). Здесь можно заметить, что квадратный трёхчлен \(x^2 - 6xy\) можно представить в виде квадрата бинома \((x - 4y)^2\).
Таким образом, мы можем преобразовать первые два члена уравнения следующим образом: \(x^2 - 6xy = (x - 4y)^2 - 16y^2\).
Применяя аналогичные преобразования ко второму члену уравнения, получим уравнение:
\((x - 4y)^2 - 16y^2 + 8y^2 = 0\).

Совершим дополнительные математические преобразования:
\((x - 4y)^2 - 8y^2 = 0\).

Финальное уравнение теперь можно представить в виде:
\((x - 4y)^2 - 8y^2 = 0\).

Теперь у нас есть квадрат разности \(x\) и \(4y\) вычтенный из некоторого числа, равного 0. То есть, квадрат разности равен 0. Из этого следует, что сама разность также равна 0, так как квадрат числа равен 0 только если само число равно 0.

Таким образом, решая уравнение \(x - 4y = 0\), мы получаем:
\(x = 4y\).

Ответ: Значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(x^2 - 6xy + 8y^2 = 0\) - это любые значения, в которых \(x\) равно \(4y\).

b) Теперь решим уравнение \(x^2 - 6xy - y^2 = 0\). Для решения этого уравнения выполним аналогичные преобразования.

Исходное уравнение: \(x^2 - 6xy - y^2 = 0\).

Преобразуем первые два члена \(x^2 - 6xy\) с помощью представления квадрата бинома:
\(x^2 - 6xy = (x - 3y)^2 - 9y^2\).

Применим аналогичные преобразования к второму члену уравнения:
\((x - 3y)^2 - 9y^2 - y^2 = 0\).

Совершим дополнительные математические преобразования:
\((x - 3y)^2 - 10y^2 = 0\).

Финальное уравнение теперь можно представить в виде:
\((x - 3y)^2 - 10y^2 = 0\).

Решая уравнение \((x - 3y)^2 - 10y^2 = 0\), мы получаем:
\(x - 3y = 0\).

Ответ: Значения \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(x^2 - 6xy - y^2 = 0\) - это любые значения, в которых \(x\) равно \(3y\).

c) Теперь найдем все решения уравнения \(x^2 + 2xy - 24y^2 = 0\) для \(x\) и \(y\).

Данное уравнение не является квадратным трёхчленом, поэтому мы не можем использовать метод завершения квадрата для его решения.

Однако, мы можем попробовать разложить уравнение на множители. Для этого мы хотим найти два числа, произведение которых равно -24, а сумма равна 2.

Разложим -24 на множители. Найдем такие числа, произведение которых равно -24 и сумма равна 2. Такими числами будут 6 и -4.

Теперь мы можем разложить уравнение на множители:
\(x^2 + 2xy - 24y^2 = (x + 6y)(x - 4y) = 0\).

Таким образом, у нас два множителя: \(x + 6y = 0\) и \(x - 4y = 0\). Для решения этих уравнений мы получаем следующие решения:
\(x = -6y\) и \(x = 4y\).

Ответ: Все решения уравнения \(x^2 + 2xy - 24y^2 = 0\) для \(x\) и \(y\) — это любые значения, в которых \(x\) равно \(-6y\) или \(x\) равно \(4y\).

d) Теперь найдем все пары значений \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(x^2 + 9xy + 14y^2 = 0\).

Данное уравнение также не является квадратным трёхчленом, но его можно решить, факторизуя его на множители.

Мы ищем два числа, произведение которых равно \(14\), а сумма равна \(9\). Этими числами будут \(7\) и \(2\).

Разложим уравнение на множители, используя найденные числа:
\(x^2 + 9xy + 14y^2 = (x + 7y)(x + 2y) = 0\).

Таким образом, у нас есть два множителя: \(x + 7y = 0\) и \(x + 2y = 0\). Решая эти уравнения, получаем следующие решения:
\(x = -7y\) и \(x = -2y\).

Ответ: Все пары значений \(x\) и \(y\), удовлетворяющие уравнению \(x^2 + 9xy + 14y^2 = 0\), - это любые значения, в которых \(x\) равно \(-7y\) или \(x\) равно \(-2y\).

e) Теперь найдем значения \(x\) и \(y\), являющиеся решениями уравнения \(3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0\).

Данное уравнение также не является квадратным трёхчленом, но его можно решить, разложив на множители.

Для начала, посмотрим на левую часть уравнения:
\(3x^2 - 8xy + 5y^2\).

Обратите внимание, что \(3x^2 - 8xy + 5y^2\) можно разложить в квадратный трёхчлен в виде \((x - y)(3x - 5y)\).

Теперь у нас есть уравнение:
\((x - y)(3x - 5y) = 0\).

Решение этого уравнения будет:
\(x - y = 0\) или \(3x - 5y = 0\).

Решив эти уравнения, мы получаем:
\(x = y\) или \(y = \frac{3}{5}x\).

Ответ: Значения \(x\) и \(y\), являющиеся решениями уравнения \(3x^2 - 8xy + 5y^2 = 0\), - это любые значения, в которых \(x\) равно \(y\) или \(y\) равно \(\frac{3}{5}x\).

f) Теперь найдем значения \(x\) и \(y\), являющиеся решениями уравнения \(2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0\).

Это уравнение также не является квадратным трёхчленом, но его можно решить, разложив на множители.

Посмотрим на левую часть уравнения:
\(2x^2 + 7xy + 5y^2\).

Мы хотим найти два числа, произведение которых равно \(2 \cdot 5 = 10\), а сумма равна \(7\). Такими числами будут \(5\) и \(2\).

Теперь мы можем разложить уравнение на множители:
\(2x^2 + 7xy + 5y^2 = (2x + 5y)(x + y) = 0\).

Таким образом, у нас есть два множителя: \(2x + 5y = 0\) и \(x + y = 0\). Решая эти уравнения, получаем следующие решения:
\(x = -\frac{5}{2}y\) и \(x = -y\).

Ответ: Значения \(x\) и \(y\), являющиеся решениями уравнения \(2x^2 + 7xy + 5y^2 = 0\), - это любые значения, в которых \(x\) равно \(-\frac{5}{2}y\) или \(x\) равно \(-y\).