а) Какие значения x являются корнями уравнения cos2x+3cos(3п/2+x)-2=0? б) Какие числа из отрезка [-5;-3] являются

Стрекоза

23

Конечно! Давайте начнем с задачи (а).

У нас есть уравнение: \(\cos(2x) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2 = 0\)

Чтобы найти корни этого уравнения, нам нужно решить его. Давайте посмотрим на каждый член слева по отдельности.

Первый член \(\cos(2x)\) - это тригонометрическая функция, которая зависит от угла \(2x\).

Второй член \(3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\) также является тригонометрической функцией, но на этот раз она зависит от угла \(\frac{3\pi}{2} + x\).

Давайте разберемся со вторым членом. Мы знаем, что \(\cos(\theta) = \cos(-\theta)\) для любого угла \(\theta\). Это означает, что мы можем переписать \(\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right)\) как \(\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right)\). Подставим это в уравнение:

\(\cos(2x) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2 = 0\)
\(\cos(2x) + 3\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) - 2 = 0\)

Теперь у нас есть все необходимые компоненты для дальнейшего решения уравнения. Я подготовлю выражение для упрощения:

\(\cos(2x) + 3\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) - 2 = 0\)

Упростим выражение:

\(\cos(2x) - 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0\)

Теперь мы можем использовать тригонометрические идентичности для дальнейшего решения уравнения. Рассмотрим следующую идентичность:

\(\cos(A) - \cos(B) = -2\sin\left(\frac{A + B}{2}\right)\sin\left(\frac{A - B}{2}\right)\)

Обратите внимание, что выше используется \(-\cos(B)\). Это означает, что нам нужно изменить знак перед вторым членом, чтобы совпадал с использованным в идентичности:

\(\cos(2x) + 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0\)
\(\cos(2x) - 3\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right) - 2 = 0\)

Перепишем \(-3\cos\left(-\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\right)\) как \(3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right)\), чтобы соответствовать идентичности:

\(\cos(2x) - 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0\)
\(\cos(2x) - 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + 2 = 0\)

Применим идентичность:

\(\cos(2x) - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) + 2 = 0\)

Мы можем видеть, что первый член \(\cos(2x)\) не содержит синусов, поэтому мы его оставляем для поиска корней. Давайте перепишем наше уравнение без первого члена:

\(-2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) + 2 = 0\)

Теперь, чтобы найти корни этого уравнения, мы можем рассмотреть два возможных случая: когда оба синуса равны 0 и когда второй синус равен 0.

1. Оба синуса равны 0:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = 0\) и \(\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 0\)

Давайте найдем значения \(x\), при которых это выполняется.

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) = 0\)
\(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} = k\pi\)

Решим это уравнение для \(x\):

\(\frac{x}{2} = \frac{\pi}{4} - k\pi\)
\(x = 2\left(\frac{\pi}{4} - k\pi\)\)

Аналогично, для второго синуса:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 0\)
\(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} = m\pi\)
\(x = 2(m\pi - \frac{\pi}{4})\)

Где \(k\) и \(m\) - целые числа.

2. Второй синус равен 0:

\(\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = 0\)

Решим это уравнение для \(x\):

\(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2} = n\pi\)
\(x = 2(n\pi - \frac{\pi}{4})\)

Где \(n\) - целое число.

Таким образом, мы получили все значения \(x\), которые являются корнями данного уравнения.

Теперь давайте перейдем к задаче (б).

Данное уравнение не совпадает с уравнением из задачи (a), поэтому мы должны провести отдельный анализ для него.

У нас есть уравнение, где \(x\) является неизвестным:

\(\cos(2x) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2 = 0\)

Мы можем использовать те же шаги, что и в задаче (a), чтобы решить это уравнение.

По аналогии с задачей (a), мы получаем:

\(\cos(2x) + 3\cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) - 2 = 0\)

Упрощаем:

\(\cos(2x) - 3\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) - 2 = 0\)

Используем тригонометрическую идентичность:

\(\cos(2x) - 2\sin\left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) + 2 = 0\)

Мы можем решить это уравнение, используя те же шаги, что и в задаче (a), чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие уравнению.

После проведения всех необходимых вычислений и решений, мы получим итоговое решение для уравнения (б).