А) Каким образом можно показать, что последовательность xn=5-n является бесконечно большой, используя определение

Солнышко_5195

19

а) Чтобы показать, что последовательность \(x_n = 5 - n\) является бесконечно большой, мы можем использовать определение бесконечной большой в терминах "M-N". Согласно этому определению, последовательность \(x_n\) считается бесконечно большой, если для любого положительного числа M существует такое натуральное число N, что для всех значений n > N выполняется \(x_n > M\).

В случае нашей последовательности \(x_n = 5 - n\), чтобы доказать, что она является бесконечно большой, нам нужно найти такое натуральное число N, при котором значение \(x_n\) будет больше любого заданного числа M.

Давайте рассмотрим произвольное положительное число M. Если мы выберем N, равное целочисленной части числа 5 - M (то есть наибольшему натуральному числу, которое меньше 5 - M), то для всех значений n > N мы получим:

\[x_n = 5 - n > 5 - N \geq 5 - (5 - M) = M\]

Таким образом, мы показали, что для любого положительного числа M существует такое натуральное число N, что для всех значений n > N выполняется \(x_n > M\). Следовательно, последовательность \(x_n = 5 - n\) является бесконечно большой.

б) Чтобы определить, что представляет собой предел \(\lim_{{n\to \infty}} x_n\), когда n стремится к плюс бесконечности, мы можем проанализировать поведение последовательности \(x_n = 5 - n\) по мере роста n.

Поскольку последовательность \(x_n\) определена для всех натуральных чисел n, у нас нет конкретного значения для "плюс бесконечности". Вместо этого, мы можем рассмотреть предельное поведение при стремлении n к бесконечности.

При увеличении значения n, мы видим, что значение \(x_n\) будет все ближе и ближе к минус бесконечности. То есть, по мере роста n, \(x_n\) будет уменьшаться без ограничений и стремиться к отрицательной бесконечности.

Формально, мы можем записать предел следующим образом:

\[\lim_{{n\to \infty}} (5 - n) = -\infty\]

Таким образом, предел последовательности \(x_n = 5 - n\) при \(n \to +\infty\) равен минус бесконечности или, иначе говоря, последовательность стремится к минус бесконечности.