Необходимо показать, что если а^2-5 greater than а и а greater than 1, то а^2-5 greater than

Александрович

23

Хорошо, давайте решим данную задачу пошагово.

Дано условие: \(a^2 - 5 > a\) и \(a > 1\). Нам нужно доказать, что \(a^2 - 5 > 0\).

Шаг 1: Рассмотрим неравенство \(a^2 - 5 > a\). Попробуем привести его к более удобному виду.

Шаг 2: Перенесем все слагаемые на одну сторону неравенства. Таким образом, мы получим \(a^2 - a - 5 > 0\).

Шаг 3: Мы знаем, что \(a > 1\), поэтому выведем это в виде неравенства: \(a - 1 > 0\).

Шаг 4: Теперь мы можем использовать эти неравенства, чтобы получить \(a^2 - a - 6 > 0\).

Шаг 5: Разложим \(a^2 - a - 6\) на множители. Мы получаем \((a - 3)(a + 2) > 0\).

Шаг 6: Это означает, что неравенство истинно, когда оба множителя положительны или оба множителя отрицательны.

Шаг 7: Рассмотрим два случая:

Случай 1: Если \(a - 3 > 0\) и \(a + 2 > 0\), то это означает, что \(a > 3\) и \(a > -2\). Но так как \(a > 1\), то исходное условие удовлетворяется.

Случай 2: Если \(a - 3 < 0\) и \(a + 2 < 0\), то это означает, что \(a < 3\) и \(a < -2\). Но так как \(a > 1\), то это противоречит условию.

Шаг 8: Итак, только случай 1 удовлетворяет условию задачи. Это означает, что при \(a > 3\) и \(a > -2\) выполняется исходное неравенство \(a^2 - 5 > a\).

Шаг 9: Теперь докажем, что \(a^2 - 5 > 0\).

Мы уже знаем, что \(a > 1\), а также \(a > 3\) и \(a > -2\). Значит, \(a\) должно быть больше всех этих чисел.

Мы можем построить числовую ось и отметить на ней точки \(1\), \(3\) и \(-2\).

-2 1 3
|______|______|______|

Так как \(a\) должно быть больше всех этих чисел, то \(a\) должно находиться в одной из следующих интервалов:

1) \((- \infty, -2)\)
2) \((-2, 1)\)
3) \((1, 3)\)
4) \((3, + \infty)\)

Шаг 10: Рассмотрим каждый из этих интервалов.

- В интервале \((- \infty, -2)\) неравенство \(a^2 - 5 > 0\) выполняется, так как \(a\) будет отрицательным.

- В интервале \((-2, 1)\) неравенство \(a^2 - 5 > 0\) также выполняется. Рассмотрим \(a = 0\), тогда \(a^2 - 5 = -5\) и неравенство верно.

- В интервале \((1, 3)\) мы имеем \(a > 1\), что означает, что \(a^2 > a\). Таким образом, \(a^2 - 5 > a\) и \(a^2 - 5 > 0\) выполняется.

- В интервале \((3, + \infty)\) также выполняется неравенство \(a^2 - 5 > 0\).

Шаг 11: Таким образом, при любом значении \(a\), находящемся в одном из интервалов \((- \infty, -2)\), \((-2, 1)\), \((1, 3)\) или \((3, + \infty)\), выполняется неравенство \(a^2 - 5 > 0\).

Итак, мы доказали, что если \(a^2 - 5 > a\) и \(a > 1\), то также верно \(a^2 - 5 > 0\).