а) Какое уравнение описывает плоскость, проходящую через точки А1(4 4 10), А2(7 10 2) и А3(2 8 4)? б) Какое уравнение

Solnechnyy_Sharm

60

а) Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точки \( A_1(4, 4, 10) \), \( A_2(7, 10, 2) \) и \( A_3(2, 8, 4) \), мы можем использовать формулу уравнения плоскости в трехмерном пространстве. Данное уравнение имеет вид:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

где \( A, B, C \) и \( D \) - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти.

Для начала, нам нужно найти нормальный вектор этой плоскости. Это можно сделать с помощью векторного произведения двух векторов, образованных любыми двумя из трех данных точек.

Нормальный вектор может быть найден следующим образом:

\[ \vec{AB} = \vec{A_2A_1} = (7-4, 10-4, 2-10) = (3, 6, -8) \]

\[ \vec{AC} = \vec{A_3A_1} = (2-4, 8-4, 4-10) = (-2, 4, -6) \]

Теперь мы можем найти нормальный вектор, вычислив векторное произведение:

\[ \vec{N} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 6 & -8 \\ -2 & 4 & -6 \end{vmatrix} = (-36, -14, -6) \]

Теперь мы можем использовать координаты одной из точек, например \( A_1 \), и нормальный вектор, чтобы найти неизвестные коэффициенты \( A, B, C, D \) в уравнении плоскости.

Подставляя \( x = 4, y = 4, z = 10 \) и \( \vec{N} = (-36, -14, -6) \) в уравнение плоскости \( Ax + By + Cz + D = 0 \), мы получим:

\[ -36 \cdot 4 - 14 \cdot 4 - 6 \cdot 10 + D = 0 \]

\[ -144 - 56 - 60 + D = 0 \]

\[ D = 260 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точки \( A_1(4, 4, 10) \), \( A_2(7, 10, 2) \) и \( A_3(2, 8, 4) \), будет:

\[ -36x - 14y - 6z + 260 = 0 \]

б) Чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки \( A_1(4, 4, 10) \) и \( A_2(7, 10, 2) \), мы можем использовать формулу уравнения прямой в трехмерном пространстве. Уравнение имеет вид:

\[ \frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c} \]

где \( a, b, c \) - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти, а \( x_1, y_1, z_1 \) - координаты одной из точек.

В нашем случае мы можем использовать точку \( A_1(4, 4, 10) \). Чтобы найти неизвестные коэффициенты \( a, b, c \), мы можем использовать координаты второй точки \( A_2 \) и выразить их через разности между координатами второй и первой точек:

\[ x - 4 = (7 - 4)a \]
\[ y - 4 = (10 - 4)b \]
\[ z - 10 = (2 - 10)c \]

Упрощая эти уравнения, мы получим:

\[ x = 3a + 4 \]
\[ y = 6b + 4 \]
\[ z = -8c + 10 \]

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки \( A_1(4, 4, 10) \) и \( A_2(7, 10, 2) \), будет:

\[ x = 3a + 4 \]
\[ y = 6b + 4 \]
\[ z = -8c + 10 \]

в) Чтобы найти уравнение прямой, перпендикулярной плоскости \( A_1A_2A_3 \) и проходящей через точку \( A_4(9, 6, 9) \), нам снова понадобятся нормальный вектор плоскости \( A_1A_2A_3 \). Мы уже вычислили его в предыдущем вопросе, это вектор \( \vec{N} = (-36, -14, -6) \).

Теперь мы можем использовать данную точку \( A_4(9, 6, 9) \) и направляющий вектор прямой, равный нормальному вектору плоскости, чтобы получить уравнение прямой.

Мы получаем следующие уравнения:

\[ x - 9 = -36t \]
\[ y - 6 = -14t \]
\[ z - 9 = -6t \]

Таким образом, уравнение прямой, перпендикулярной плоскости \( A_1A_2A_3 \) и проходящей через точку \( A_4(9, 6, 9) \), будет:

\[ x - 9 = -36t \]
\[ y - 6 = -14t \]
\[ z - 9 = -6t \]

г) Чтобы найти уравнение прямой \( A_3N \), параллельной прямой \( A_1A_2 \), нам снова понадобится направляющий вектор прямой \( A_1A_2 \), который мы уже вычислили ранее в первой задаче: \( \vec{AB} = (3, 6, -8) \).

Поскольку прямые параллельны, их направляющие векторы сонаправлены, то есть пропорциональны друг другу, мы можем выбрать произвольную точку на прямой \( A_3 \) (например, \( A_3(2, 8, 4) \)) и направляющий вектор \( \vec{AB} \) для составления уравнения прямой \( A_3N \).

Мы получаем следующие уравнения:

\[ x - 2 = 3t \]
\[ y - 8 = 6t \]
\[ z - 4 = -8t \]

Таким образом, уравнение прямой \( A_3N \), параллельной прямой \( A_1A_2 \), будет:

\[ x - 2 = 3t \]
\[ y - 8 = 6t \]
\[ z - 4 = -8t \]

д) Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку \( A_4(9, 6, 9) \) и перпендикулярной прямой \( A_1A_2 \), мы можем использовать данную точку и нормальный вектор прямой \( A_1A_2 \), который мы уже нашли в первой задаче: \( \vec{N} = (-36, -14, -6) \).

Мы используем уравнение плоскости:

\[ Ax + By + Cz + D = 0 \]

и подставляем координаты точки \( A_4 \) и координаты нормального вектора в это уравнение:

\[ -36 \cdot 9 - 14 \cdot 6 - 6 \cdot 9 + D = 0 \]

\[ -324 - 84 - 54 + D = 0 \]

\[ D = 462 \]

Таким образом, уравнение плоскости, проходящей через точку \( A_4(9, 6, 9) \) и перпендикулярной прямой \( A_1A_2 \), будет:

\[ -36x - 14y - 6z + 462 = 0 \]

е) Чтобы найти синус угла между прямой \( A_1A_4 \) и плоскостью \( A_1A_2A_3 \), мы можем использовать нормальные векторы этих двух геометрических объектов.

Нормализуем векторы \( \vec{A_1A_4} \) и \( \vec{N} \). Нормализация вектора означает деление его на длину.

Длина вектора \( \vec{A_1A_4} \) равна \( \sqrt{(9-4)^2 + (6-4)^2 + (9-10)^2} = \sqrt{86} \)

Длина вектора \( \vec{N} \) равна \( \sqrt{(-36)^2 + (-14)^2 + (-6)^2} = \sqrt{1788} \)

Угол между векторами можно найти с помощью формулы:

\[ \sin(\alpha) = \frac{\vec{A_1A_4} \cdot \vec{N}}{|\vec{A_1A_4}| \cdot |\vec{N}|} \]

Подставляем значения:

\[ \sin(\alpha) = \frac{(9-4)(-36) + (6-4)(-14) + (9-10)(-6)}{\sqrt{86} \cdot \sqrt{1788}} \]

\[ \sin(\alpha) = \frac{-180 + (-16) - 6}{\sqrt{86} \cdot \sqrt{1788}} \]

\[ \sin(\alpha) = \frac{-202}{\sqrt{86} \cdot \sqrt{1788}} \]

Таким образом, синус угла между прямой \( A_1A_4 \) и плоскостью \( A_1A_2A_3 \) равен \(\frac{-202}{\sqrt{86} \cdot \sqrt{1788}}\).

ж) Чтобы найти косинус угла между координатной плоскостью \( Oxy \) и плоскостью \( A_1A_2A_3 \), мы можем использовать нормальные векторы этих двух плоскостей.

Плоскость \( Oxy \) имеет нормальный вектор \( \vec{N_1} = (0, 0, 1) \).

Мы уже вычислили нормальный вектор плоскости \( A_1A_2A_3 \) в первой задаче: \( \vec{N_2} = (-36, -14, -6) \).

Угол между векторами можно найти с помощью формулы:

\[ \cos(\alpha) = \frac{\vec{N_1} \cdot \vec{N_2}}{|\vec{N_1}| \cdot |\vec{N_2}|} \]

Подставляем значения:

\[ \cos(\alpha) = \frac{(0)(-36) + (0)(-14) + (1)(-6)}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2} \cdot \sqrt{(-36)^2 + (-14)^2 + (-6)^2}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{-6}{\sqrt{1} \cdot \sqrt{1788}} \]

\[ \cos(\alpha) = \frac{-6}{\sqrt{1788}} \]

Таким образом, косинус угла между координатной плоскостью \( Oxy \) и плоскостью \( A_1A_2A_3 \) равен \(\frac{-6}{\sqrt{1788}}\).