а) Каков радиус окружности, если длина дуги составляет 240 градусов и равна 24 см? б) Какова площадь сектора с углом

Веселый_Зверь_881

2

Давайте решим задачу поочередно.

а) Для нахождения радиуса окружности, когда известна длина дуги, мы можем использовать следующую формулу:

\[Длина\;дуги = 2\pi r \cdot \frac{угол}{360}\]

где \(r\) - радиус окружности, а \(\frac{угол}{360}\) - доля окружности, соответствующая заданному углу.

Подставляя заданные значения в формулу, получаем:

\[24 = 2\pi r \cdot \frac{240}{360}\]

Упрощая выражение, получаем:

\[24 = \frac{4}{3} \pi r\]

Чтобы найти радиус \(r\), необходимо избавиться от коэффициента \(\frac{4}{3} \pi\). Для этого разделим обе части уравнения на \(\frac{4}{3} \pi\):

\[\frac{24}{\frac{4}{3} \pi} = r\]

Вычисляя это выражение, получим:

\[r \approx 5.72\;см\]

Таким образом, радиус окружности составляет примерно 5.72 см.

б) Чтобы найти площадь сектора окружности, мы используем формулу:

\[Площадь\;сектора = \frac{1}{2} r^2 \cdot \frac{угол}{360} \pi\]

Подставляя значения, получаем:

\[Площадь\;сектора = \frac{1}{2} \cdot (5.72)^2 \cdot \frac{240}{360} \cdot \pi\]

Вычисляя это выражение, мы получаем:

\[Площадь\;сектора \approx 23.97 \; см^2\]

Таким образом, площадь сектора с углом 240 градусов, соответствующего данной окружности, примерно равна 23.97 квадратным сантиметрам.

в) Чтобы найти площадь сегмента окружности, мы используем следующую формулу:

\[Площадь\;сегмента = \frac{1}{2} r^2 \left( \frac{\alpha}{360} - \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right)\]

где \(r\) - радиус окружности, а \(\alpha\) - угол сегмента в градусах.

Подставляя значения, получаем:

\[Площадь\;сегмента = \frac{1}{2} \cdot (5.72)^2 \left( \frac{240}{360} - \sin\left(\frac{240}{2}\right)\right)\]

После вычислений, мы получаем:

\[Площадь\;сегмента \approx 18.79 \; см^2\]

Значит, площадь сегмента с углом 240 градусов, соответствующего данной окружности, примерно равна 18.79 квадратным сантиметрам.