а) Какова длина стороны шестиугольника, вписанного в окружность радиуса r? б) Каков радиус окружности, вписанной

Искандер

47

Шестиугольник, вписанный в окружность радиуса \( r \), имеет особое свойство: каждая его сторона является радиусом этой окружности. То есть, каждая сторона шестиугольника равна \( r \).

а) Длина стороны шестиугольника, вписанного в окружность радиуса \( r \), равна \( r \).

Чтобы найти радиус окружности, вписанной в данный шестиугольник, можно воспользоваться следующей формулой:

\[ R = \frac{{r}}{{\cos \frac{{\pi}}{{6}}}} \]

где \( R \) - радиус вписанной окружности, \( r \) - радиус описанной окружности.

б) Радиус окружности, вписанной в данный шестиугольник, можно найти по формуле:

\[ R = \frac{{r}}{{\cos \frac{{\pi}}{{6}}}} \]

\[ R = \frac{{r}}{{\cos 30^\circ}} \]

\[ R = \frac{{r}}{{\frac{{\sqrt{3}}}}{{2}}} \]

\[ R = \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \]

Таким образом, радиус вписанной окружности равен \( \frac{{2r}}{{\sqrt{3}}} \).

Для нахождения длины наибольшей диагонали шестиугольника существуют разные способы. Один из возможных способов - это нарисовать диагонали шестиугольника и разбить его на шесть равносторонних треугольников. Радиус описанной окружности является гипотенузой каждого треугольника. Половина стороны шестиугольника (или радиус вписанной окружности) - это катет треугольника. Из этих данных можно применить теорему Пифагора и найти длину наибольшей диагонали.

в) Для нахождения длины наибольшей диагонали шестиугольника, можно воспользоваться теоремой Пифагора:

\[ c^2 = a^2 + b^2 \]

где \( c \) - длина наибольшей диагонали, \( a \) - половина стороны шестиугольника (или радиус вписанной окружности), \( b \) - радиус описанной окружности.

\[ c^2 = \left(\frac{{r}}{{\cos \frac{{\pi}}{{6}}}}\right)^2 + \left(\frac{{2r}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 \]

\[ c^2 = \left(\frac{{r}}{{\frac{{\sqrt{3}}}}{{2}}}}\right)^2 + \left(\frac{{2r}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 \]

\[ c^2 = \left(\frac{{2r}}{{\sqrt{3}}}}\right)^2 + \left(\frac{{2r}}{{\sqrt{3}}}\right)^2 \]

\[ c^2 = \frac{{4r^2}}{{3}} + \frac{{4r^2}}{{3}} \]

\[ c^2 = \frac{{8r^2}}{{3}} \]

\[ c = \sqrt{\frac{{8r^2}}{{3}}} = \frac{{2r\sqrt{2}}}{{\sqrt{3}}} = \frac{{2r\sqrt{6}}}{{3}} \]

Таким образом, длина наибольшей диагонали шестиугольника равна \( \frac{{2r\sqrt{6}}}{{3}} \).

Для нахождения длины наименьшей диагонали шестиугольника можно использовать такой же метод, если рассмотреть наибольшую диагональ как главную диагональ.

г) Длина наименьшей диагонали шестиугольника равна \( \frac{{2r\sqrt{3}}}{{3}} \).