а) Какова область определения функции y=ctg(x/4)? б) Найдите наименьший положительный период функции y=ctg(x/4

Tayson

14

Хорошо, давайте начнем с первой части задачи.

а) Для того чтобы определить область определения функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\), нам нужно рассмотреть значения \(x\), при которых функция определена. Область определения является множеством всех возможных значений аргумента функции.

Функция \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\) определена только тогда, когда котангенс от аргумента существует. Аргумент в данном случае \(\frac{x}{4}\). Котангенс функции определен для любого значениия, кроме кратных чисел \(\pi\).

Таким образом, область определения функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\) будет выглядеть следующим образом:
\[
D = \left\{ x | x \neq 4n\pi, n \in \mathbb{Z} \right\}
\]
Это означает, что все значения \(x\), которые не являются кратными числам \(\pi\), являются допустимыми значениями для функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\).

Теперь перейдем ко второй части задачи.

б) Чтобы найти наименьший положительный период функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\), мы должны найти значение \(T\), при котором функция снова принимает свое исходное значение после полного прохождения одного положительного периода.

Период функции котангенса \(\cot(x)\) равен \(\pi\), то есть для полного прохождения одного периода котангенс должен пройти кратность \(\pi\).

Исходная функция \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\) растягивает период котангенса в \(4\) раза. Таким образом, чтобы найти наименьший положительный период функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\), мы должны умножить период котангенса на \(4\).

Таким образом, наименьший положительный период функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\) будет равен \(T = 4\pi\).

Надеюсь, данное пошаговое объяснение помогло вам понять область определения и наименьший положительный период функции \(y = \cot \left(\frac{x}{4}\right)\). Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать их.