а) Какова высота металлического прямого кругового конуса с образующей, равной 5 см, и диаметром основания 4

Папоротник_6194

40

Давайте решим задачу шаг за шагом:

а) Для нахождения высоты металлического прямого кругового конуса с образующей, равной 5 см, и диаметром основания 4 см, нам потребуется использовать теорему Пифагора. Вспомним, что теорема Пифагора утверждает, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

В нашем случае, диаметр основания конуса равен 4 см, что означает, что радиус основания будет равен половине диаметра, то есть \(r = \frac{4}{2} = 2\) см.

Таким образом, мы можем построить прямоугольный треугольник со сторонами \(r\) и \(h\), и гипотенузой, равной образующей конуса. Значит, мы имеем следующее соотношение:

\[r^2 + h^2 = (5\, \text{см})^2\]

Подставляя значение радиуса \(r = 2\, \text{см}\), получаем:

\[2^2 + h^2 = 5^2\]

Упрощаем:

\[4 + h^2 = 25\]

Вычитаем 4 из обеих сторон:

\[h^2 = 21\]

Извлекаем квадратный корень:

\[h = \sqrt{21}\, \text{см}\]

Итак, высота металлического прямого кругового конуса равна \(\sqrt{21}\) см.

б) Чтобы найти площадь боковой поверхности металлического конуса, мы будем использовать формулу площади боковой поверхности конуса, которая определена как произведение половины окружности основания на образующую конуса.

Формула для площади боковой поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[ S = \pi r l\]

где \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Мы уже установили, что радиус \(r\) равен 2 см, а образующая \(l\) равна 5 см.

Подставим эти значения в формулу:

\[S = \pi \cdot 2 \cdot 5\]

Выполняем простые вычисления:

\[S = 10\pi\]

Таким образом, площадь боковой поверхности металлического конуса равна \(10\pi\) квадратных сантиметров.

в) Чтобы найти объем металлического конуса, мы будем использовать формулу объема прямого кругового конуса:

\[V = \frac{1}{3} \pi r^2 h\]

где \(r\) - радиус основания конуса, а \(h\) - высота конуса.

Мы уже знаем, что радиус \(r\) равен 2 см, а высота \(h\) равна \(\sqrt{21}\) см.

Подставим эти значения в формулу:

\[V = \frac{1}{3} \pi \cdot 2^2 \cdot \sqrt{21}\]

Выполняем простые вычисления:

\[V = \frac{4}{3} \pi \sqrt{21}\]

Таким образом, объем металлического конуса равен \(\frac{4}{3} \pi \sqrt{21}\) кубических сантиметров.

Было бы здорово, если бы вы потренировались в решении подобных задач самостоятельно. Если у вас есть другие вопросы или задачи, я с удовольствием помогу вам!