а) Каково ускорение свободного падения на поверхности планеты с радиусом 5000км и массой 6х10^24 кг? б) На какой высоте

Львица_7656

34

а) Для того чтобы решить эту задачу, нужно воспользоваться формулой для ускорения свободного падения \( g = \frac{{G \cdot M}}{{r^2}} \), где \( G \) - гравитационная постоянная, \( M \) - масса планеты, а \( r \) - радиус планеты. Значение гравитационной постоянной \( G \) равно \( 6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2} \).

Теперь подставим значения в формулу и рассчитаем ускорение свободного падения на поверхности планеты:

\[ g = \frac{{(6.67430 \times 10^{-11} \, \text{м}^3 \, \text{кг}^{-1} \, \text{с}^{-2}) \cdot (6 \times 10^{24} \, \text{кг})}}{{(5000 \times 10^3 \, \text{м})^2}} \]

После вычислений получаем значение ускорения свободного падения \( g \approx 9.8 \, \text{м/с}^2 \).

Ответ: Ускорение свободного падения на поверхности этой планеты составляет примерно 9.8 м/с^2.

б) Чтобы найти высоту, на которой ускорение свободного падения станет в 3 раза меньше, чем на поверхности планеты, воспользуемся тем фактом, что ускорение свободного падения на высоте \( h \) можно выразить следующей формулой:

\[ g_h = g \left( \frac{{R}}{{R+h}} \right)^2 \]

где \( g_h \) - ускорение свободного падения на высоте \( h \), \( g \) - ускорение свободного падения на поверхности планеты, \( R \) - радиус планеты.

Из условия задачи известно, что \( g_h = \frac{{g}}{3} \). Подставим это значение в формулу:

\[ \frac{{g}}{3} = g \left( \frac{{R}}{{R+h}} \right)^2 \]

Упростим выражение:

\[ \left( \frac{{R}}{{R+h}} \right)^2 = \frac{{1}}{3} \]

Решим это уравнение относительно \( h \):

\[ \frac{{R^2}}{{(R+h)^2}} = \frac{{1}}{3} \]

\[ 3R^2 = (R+h)^2 \]

\[ 3R^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \]

\[ 0 = h^2 + 2Rh + (R^2 - 3R^2) \]

\[ 0 = h^2 + 2Rh - 2R^2 \]

Применим квадратное уравнение и решим его относительно \( h \):

\[ h = \frac{{-2R \pm \sqrt{{(2R)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2R^2)}}}}{{2 \cdot 1}} \]

\[ h = \frac{{-2R \pm \sqrt{{4R^2 + 8R^2}}}}{{2}} \]

\[ h = \frac{{-2R \pm 2R \sqrt{{3}}}}{{2}} \]

\[ h = -R \pm R\sqrt{{3}} \]

\[ h \approx -5000 \, \text{км} \pm 5000 \, \text{км} \times \sqrt{{3}} \]

Так как высота не может быть отрицательной, мы выбираем только положительное значение:

\[ h \approx 866 \, \text{км} \]

Ответ: Ускорение свободного падения станет в 3 раза меньше на высоте примерно 866 км над поверхностью планеты.

в) Чтобы найти высоту над поверхностью планеты, на которой ускорение свободного падения составит 3 м/с^2, мы можем использовать ту же самую формулу, что и в задаче б):

\[ g_h = g \left( \frac{{R}}{{R+h}} \right)^2 \]

Подставим известные значения:

\[ 3 = 9.8 \times \left( \frac{{5000 \times 10^3}}{{5000 \times 10^3 + h}} \right)^2 \]

Упростим выражение:

\[ \frac{{3}}{{9.8}} = \left( \frac{{5000 \times 10^3}}{{5000 \times 10^3 + h}} \right)^2 \]

Решим это уравнение относительно \( h \):

\[ \frac{{3}}{{9.8}} = \frac{{5000 \times 10^3}}{{5000 \times 10^3 + h}} \]

\[ 3(5000 \times 10^3 + h) = 9.8 \times (5000 \times 10^3)^2 \]

раскроем скобки:

\[ 15000 \times 10^3 + 3h = 9.8 \times (5000 \times 10^3)^2 \]

\[ 3h = 9.8 \times (5000 \times 10^3)^2 - 15000 \times 10^3 \]

\[ h = \frac{{9.8 \times (5000 \times 10^3)^2 - 15000 \times 10^3}}{{3}} \]

посчитаем это значение:

\[ h \approx 834.2 \times 10^3 \, \text{м} \]

Ответ: Ускорение свободного падения будет составлять 3 м/с^2 на высоте примерно 834.2 км над поверхностью планеты.