a) Найдите арифметическую прогрессию, если известны c3 = -15 и c4 = -12. б) Найдите сумму первых 10 членов данной

Золото

51

Хорошо, давайте решим данную задачу по порядку.

а) Нам нужно найти арифметическую прогрессию, зная значения третьего и четвёртого членов. В арифметической прогрессии каждый следующий член образуется добавлением одного и того же числа к предыдущему члену.

Пусть d - это разность между любыми двумя соседними членами арифметической прогрессии. Тогда третий член будет равен второму члену, увеличенному на d: \(c_3 = c_2 + d\), и четвёртый член будет равен третьему члену, увеличенному на d: \(c_4 = c_3 + d\).

Мы знаем, что \(c_3 = -15\) и \(c_4 = -12\). Подставим эти значения в уравнения и решим их:

\[c_2 + d = -15\] (1)
\[c_3 + d = -12\] (2)

Теперь вычтем уравнение (2) из уравнения (1), чтобы избавиться от d:

\[(c_2 + d) - (c_3 + d) = -15 - (-12)\]
\[c_2 - c_3 = -3\]

Из уравнения (2) мы можем заметить, что \(c_3 + d = -12\), поэтому заменим \(c_3\) на это значение:

\[c_2 - (-12) = -3\]
\[c_2 + 12 = -3\]
\[c_2 = -15\]

Таким образом, второй член арифметической прогрессии равен -15.

Теперь, чтобы получить разность \(d\), заменим \(c_2\) и \(c_3\) в уравнении (1):

\[-15 + d = -15\]
\[d = 0\]

Мы получили, что разность \(d\) равна 0.

Значит, арифметическая прогрессия имеет разность 0 и каждый член равен -15.

б) Теперь нам нужно найти сумму первых 10 членов данной прогрессии.

Для нахождения суммы первых \(n\) членов арифметической прогрессии с известным первым членом \(a_1\) и разностью \(d\), мы можем использовать следующую формулу:

\[S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)\]

где \(S_n\) - сумма первых \(n\) членов, \(a_1\) - первый член, \(a_n\) - последний член.

В нашем случае, первый член \(a_1 = -15\) и разность \(d = 0\), поэтому \(a_n = a_1\) для любого \(n\).

Подставим эти значения в формулу:

\[S_{10} = \frac{10}{2}(-15 + (-15))\]
\[S_{10} = \frac{10}{2}(-30)\]
\[S_{10} = 5(-30)\]
\[S_{10} = -150\]

Таким образом, сумма первых 10 членов данной арифметической прогрессии равна -150.