18.4. График функции используется для определения диапазона значений переменной, в которых функция принимает

Sherlok

26

Хорошо, давайте разберём задачу по частям.

1) Чтобы выяснить при каких значениях $x$ функция $y=2x^2-6x+4$ отрицательна, нам нужно найти диапазон значений переменной $x$, при которых функция $y$ принимает отрицательные значения.

Для начала, давайте посмотрим на параболу $y=2x^2-6x+4$. Зная, что парабола с ведущим коэффициентом $a>0$ имеет ветви, направленные вверх, мы можем предположить, что существуют значения $x$, при которых функция $y$ будет отрицательной.

Для того чтобы найти эти значения, мы должны решить квадратное уравнение $2x^2-6x+4=0$. Мы можем найти корни этого уравнения и использовать их как точки для определения диапазона значений $x$.

Используем формулу дискриминанта $D=b^2-4ac$, где $a=2$, $b=-6$ и $c=4$, чтобы найти значения дискриминанта.

$$D=(-6{)}^2-4\cdot 2\cdot 4=36-32=4$$

Поскольку дискриминант $D$ положительный, у нас есть два различных корня. Давайте найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения $x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$.

$$x=\frac{-(-6)\pm \sqrt{4}}{2\cdot 2}=\frac{6\pm 2}{4}$$

Таким образом, мы получаем два корня $x_1=\frac{4}{4}=1$ и $x_2=\frac{8}{4}=2$.

Теперь, чтобы определить диапазон значений $x$, при которых функция $y$ отрицательна, мы можем использовать интервал между этими двумя корнями. То есть, ответом на первую часть задачи является интервал $x\in (1,2)$.

2) Для определения интервалов значений $x$, при которых функция $y=x^2+5x-6$ отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение $x^2+5x-6<0$.

Для этого мы можем найти корни уравнения $x^2+5x-6=0$ и использовать их для определения интервалов.

Используя формулу дискриминанта, мы находим:

$$D=5^2-4\cdot 1\cdot (-6)=25+24=49$$

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

$$x_1=\frac{-5+\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-5+7}{2}=1$$

$$x_2=\frac{-5-\sqrt{49}}{2\cdot 1}=\frac{-5-7}{2}=-6$$

Теперь нам нужно определить, в каком интервале функция $y$ меньше нуля. Для этого проведем тестирование точек в каждом интервале.

Интервал $x<-6$: Проверим точку, например, $x=-7$. Подставим ее в уравнение: $(-7{)}^2+5(-7)-6=49-35-6=8$. Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал $x<-6$ нам не подходит.

Интервал $-6<x<1$: Проверим точку, например, $x=0$. Подставим ее в уравнение: $0^2+5(0)-6=-6$. Получили отрицательное число. Значит, интервал $-6<x<1$ нам подходит.

Интервал $x>1$: Проверим точку, например, $x=2$. Подставим ее в уравнение: $2^2+5(2)-6=4+10-6=8$. Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал $x>1$ нам не подходит.

Таким образом, интервалами значений $x$, при которых функция $y$ отрицательна, является $x\in (-6,1)$.

3) Для определения множества значений $x$, при которых функция $y=x^2+4x+4$ отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение $x^2+4x+4<0$.

Опять же, мы можем найти корень уравнения $x^2+4x+4=0$ и использовать его, чтобы определить множество значений.

Решим это уравнение. Заметим, что левая часть равна $(x+2{)}^2$, поэтому уравнение можно переписать в виде:

$(x+2{)}^2<0$

Так как квадрат $(x+2{)}^2$ всегда неотрицательный, уравнение не имеет действительных решений. Это значит, что у функции $y=x^2+4x+4$ нет значений $x$, при которых она отрицательна. Множество значений $x$ равно пустому множеству, то есть $x\in \mathrm{\varnothing }$.

4) Для определения интервалов значений $x$, при которых функция $y=x^2-2.6x-1.6$ отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение $x^2-2.6x-1.6<0$.

Сначала упростим это уравнение, умножив все его члены на 10 для избавления от десятичных дробей:

$10x^2-26x-16<0$

Затем решим квадратное уравнение $10x^2-26x-16=0$. Найдем его корни:

$$D=(-26{)}^2-4\cdot 10\cdot (-16)=676+640=1316$$

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

$$x_1=\frac{-(-26)+\sqrt{1316}}{2\cdot 10}\approx 3.08$$

$$x_2=\frac{-(-26)-\sqrt{1316}}{2\cdot 10}\approx -1.72$$

Теперь проведем тестирование точек в каждом интервале:

Интервал $x<-1.72$: Проверим точку, например, $x=-2$. Подставим ее в уравнение: $(-2{)}^2-2.6(-2)-1.6=7.8$. Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал $x<-1.72$ нам не подходит.

Интервал $-1.72<x<3.08$: Проверим точку, например, $x=0$. Подставим ее в уравнение: $0^2-2.6(0)-1.6=-1.6$. Получили отрицательное число. Значит, интервал $-1.72<x<3.08$ нам подходит.

Интервал $x>3.08$: Проверим точку, например, $x=4$. Подставим ее в уравнение: $4^2-2.6(4)-1.6=7.4$. Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал $x>3.08$ нам не подходит.

Таким образом, интервалами значений $x$, при которых функция $y$ отрицательна, является $x\in (-1.72,3.08)$.