18.4. График функции используется для определения диапазона значений переменной, в которых функция принимает

Sherlok

26

Хорошо, давайте разберём задачу по частям.

1) Чтобы выяснить при каких значениях \( x \) функция \( y = 2x^2 - 6x + 4 \) отрицательна, нам нужно найти диапазон значений переменной \( x \), при которых функция \( y \) принимает отрицательные значения.

Для начала, давайте посмотрим на параболу \( y = 2x^2 - 6x + 4 \). Зная, что парабола с ведущим коэффициентом \( a > 0 \) имеет ветви, направленные вверх, мы можем предположить, что существуют значения \( x \), при которых функция \( y \) будет отрицательной.

Для того чтобы найти эти значения, мы должны решить квадратное уравнение \( 2x^2 - 6x + 4 = 0 \). Мы можем найти корни этого уравнения и использовать их как точки для определения диапазона значений \( x \).

Используем формулу дискриминанта \( D = b^2 - 4ac \), где \( a = 2 \), \( b = -6 \) и \( c = 4 \), чтобы найти значения дискриминанта.

\[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 36 - 32 = 4 \]

Поскольку дискриминант \( D \) положительный, у нас есть два различных корня. Давайте найдем их, используя формулу корней квадратного уравнения \( x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \).

\[ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 2} = \frac{6 \pm 2}{4} \]

Таким образом, мы получаем два корня \( x_1 = \frac{4}{4} = 1 \) и \( x_2 = \frac{8}{4} = 2 \).

Теперь, чтобы определить диапазон значений \( x \), при которых функция \( y \) отрицательна, мы можем использовать интервал между этими двумя корнями. То есть, ответом на первую часть задачи является интервал \( x \in (1, 2) \).

2) Для определения интервалов значений \( x \), при которых функция \( y = x^2 + 5x - 6 \) отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение \( x^2 + 5x - 6 < 0 \).

Для этого мы можем найти корни уравнения \( x^2 + 5x - 6 = 0 \) и использовать их для определения интервалов.

Используя формулу дискриминанта, мы находим:

\[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49 \]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

\[ x_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 + 7}{2} = 1 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 1} = \frac{-5 - 7}{2} = -6 \]

Теперь нам нужно определить, в каком интервале функция \( y \) меньше нуля. Для этого проведем тестирование точек в каждом интервале.

Интервал \( x < -6 \): Проверим точку, например, \( x = -7 \). Подставим ее в уравнение: \( (-7)^2 + 5(-7) - 6 = 49 - 35 - 6 = 8 \). Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал \( x < -6 \) нам не подходит.

Интервал \( -6 < x < 1 \): Проверим точку, например, \( x = 0 \). Подставим ее в уравнение: \( 0^2 + 5(0) - 6 = -6 \). Получили отрицательное число. Значит, интервал \( -6 < x < 1 \) нам подходит.

Интервал \( x > 1 \): Проверим точку, например, \( x = 2 \). Подставим ее в уравнение: \( 2^2 + 5(2) - 6 = 4 + 10 - 6 = 8 \). Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал \( x > 1 \) нам не подходит.

Таким образом, интервалами значений \( x \), при которых функция \( y \) отрицательна, является \( x \in (-6, 1) \).

3) Для определения множества значений \( x \), при которых функция \( y = x^2 + 4x + 4 \) отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение \( x^2 + 4x + 4 < 0 \).

Опять же, мы можем найти корень уравнения \( x^2 + 4x + 4 = 0 \) и использовать его, чтобы определить множество значений.

Решим это уравнение. Заметим, что левая часть равна \((x+2)^2\), поэтому уравнение можно переписать в виде:

\((x+2)^2 < 0\)

Так как квадрат \((x+2)^2\) всегда неотрицательный, уравнение не имеет действительных решений. Это значит, что у функции \(y = x^2 + 4x + 4\) нет значений \(x\), при которых она отрицательна. Множество значений \(x\) равно пустому множеству, то есть \(x \in \emptyset\).

4) Для определения интервалов значений \(x\), при которых функция \(y = x^2 - 2.6x - 1.6\) отрицательна, мы должны решить квадратное уравнение \(x^2 - 2.6x - 1.6 < 0\).

Сначала упростим это уравнение, умножив все его члены на 10 для избавления от десятичных дробей:

\(10x^2 - 26x - 16 < 0\)

Затем решим квадратное уравнение \(10x^2 - 26x - 16 = 0\). Найдем его корни:

\[ D = (-26)^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-16) = 676 + 640 = 1316 \]

Поскольку дискриминант положительный, у нас есть два различных корня:

\[ x_1 = \frac{-(-26) + \sqrt{1316}}{2 \cdot 10} \approx 3.08 \]

\[ x_2 = \frac{-(-26) - \sqrt{1316}}{2 \cdot 10} \approx -1.72 \]

Теперь проведем тестирование точек в каждом интервале:

Интервал \( x < -1.72 \): Проверим точку, например, \( x = -2 \). Подставим ее в уравнение: \( (-2)^2 - 2.6(-2) - 1.6 = 7.8 \). Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал \( x < -1.72 \) нам не подходит.

Интервал \( -1.72 < x < 3.08 \): Проверим точку, например, \( x = 0 \). Подставим ее в уравнение: \( 0^2 - 2.6(0) - 1.6 = -1.6 \). Получили отрицательное число. Значит, интервал \( -1.72 < x < 3.08 \) нам подходит.

Интервал \( x > 3.08 \): Проверим точку, например, \( x = 4 \). Подставим ее в уравнение: \( 4^2 - 2.6(4) - 1.6 = 7.4 \). Получили положительное число, а не отрицательное. Значит, интервал \( x > 3.08 \) нам не подходит.

Таким образом, интервалами значений \( x \), при которых функция \( y \) отрицательна, является \( x \in (-1.72, 3.08) \).