А) Найдите пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ. Б) Найдите знаменатель

Zhemchug

54

прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ.

А) Чтобы найти пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ, нужно подставить n = 5 в формулу. Получаем:
б₅ = 55,5 ⋅ (− 2)⁵

Чтобы рассчитать это значение, сначала возведем -2 в 5-ю степень. Получаем: (-2)⁵ = -32.
Теперь, умножим -32 на 55,5:
б₅ = 55,5 ⋅ (-32) = -1776

Ответ: пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ, равен -1776.

Б) Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, если известны пятый член (б₅) равный -14 и восьмой член (б₈) равный 112, мы можем воспользоваться системой уравнений для нахождения знаменателя и первого члена. Запишем систему уравнений:

$$б₅=а\cdot р⁴$$
$$б₈=а\cdot р⁷$$

Подставим в уравнения известные значения. Получаем:
-14 = а ⋅ р⁴
112 = а ⋅ р⁷

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от неизвестного а:
$$\frac{112}{-14}=\frac{а\cdot р⁷}{а\cdot р⁴}$$

Сократим коэффициенты:
-8 = р³

Теперь возведем обе части уравнения в степень $\frac{1}{3}$:
$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{р³}$$
$$-2=р$$

Таким образом, мы нашли значение знаменателя геометрической прогрессии. Ответ: р = -2.

В) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, первые несколько членов которой являются 17, 68, 272, ..., мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:

$$бₙ=б₁\cdot {р}^{(}н-1)$$

Подставим значения: б₁ = 17, н = 4
$$б₄=17\cdot {р}^{(}4-1)=17\cdot р³$$

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, первые несколько членов которой являются 17, 68, 272, ..., равен 17 ⋅ р³.

Г) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а первый член (b₁) равен 16, мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии, где б₁ - первый член, р - знаменатель:

$$бₙ=б₁\cdot {р}^{(}н-1)$$

Подставим значения: б₁ = 16, р = 2, н = 4
$$б₄=16\cdot 2^{(}4-1)=16\cdot 2³$$

Вычислим значение:
б₄ = 16 ⋅ 2³ = 16 ⋅ 8 = 128

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а первый член (b₁) равен 16, равен 128.

Д) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 4, а первый член (b₁) равен 1/4, мы также можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии:

$$бₙ=б₁\cdot {р}^{(}н-1)$$

Подставим значения: б₁ = $\frac{1}{4}$, р = 4, н = 4
$$б₄=\frac{1}{4}\cdot 4^{(}4-1)=\frac{1}{4}\cdot 4³$$

Вычислим значение:
б₄ = $\frac{1}{4}\cdot 4³$ = $\frac{1}{4}\cdot 64$ = 16

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 4, а первый член (b₁) равен 1/4, равен 16.

Е) Чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

$$Сₙ=\frac{б₁\cdot (1-рⁿ)}{1-р}$$

Подставим значения: б₁ = 3, р = 0,5, н = 6
$$C₆=\frac{3\cdot (1-0,5⁶)}{1-0,5}$$

Вычислим значение:
$$C₆=\frac{3\cdot (1-0,015625)}{0,5}$$

$$C₆=\frac{3\cdot 0,984375}{0,5}$$

$$C₆=\frac{2,953125}{0,5}$$

$$C₆=5,90625$$

Ответ: сумма первых 6 членов геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ, равна 5,90625.