А) Найдите пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ. Б) Найдите знаменатель

Zhemchug

54

прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ.

А) Чтобы найти пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ, нужно подставить n = 5 в формулу. Получаем:
б₅ = 55,5 ⋅ (− 2)⁵

Чтобы рассчитать это значение, сначала возведем -2 в 5-ю степень. Получаем: (-2)⁵ = -32.
Теперь, умножим -32 на 55,5:
б₅ = 55,5 ⋅ (-32) = -1776

Ответ: пятый член геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 55,5 ⋅ (− 2)ⁿ, равен -1776.

Б) Чтобы найти знаменатель геометрической прогрессии, если известны пятый член (б₅) равный -14 и восьмой член (б₈) равный 112, мы можем воспользоваться системой уравнений для нахождения знаменателя и первого члена. Запишем систему уравнений:

\[б₅ = а ⋅ р⁴\]
\[б₈ = а ⋅ р⁷\]

Подставим в уравнения известные значения. Получаем:
-14 = а ⋅ р⁴
112 = а ⋅ р⁷

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от неизвестного а:
\[\frac{{112}}{{-14}} = \frac{{а ⋅ р⁷}}{{а ⋅ р⁴}}\]

Сократим коэффициенты:
-8 = р³

Теперь возведем обе части уравнения в степень \(\frac{1}{3}\):
\[\sqrt[3]{{-8}} = \sqrt[3]{{р³}}\]
\[-2 = р\]

Таким образом, мы нашли значение знаменателя геометрической прогрессии. Ответ: р = -2.

В) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, первые несколько членов которой являются 17, 68, 272, ..., мы можем воспользоваться формулой для общего члена геометрической прогрессии:

\[бₙ = б₁ ⋅ р^(н-1)\]

Подставим значения: б₁ = 17, н = 4
\[б₄ = 17 ⋅ р^(4-1) = 17 ⋅ р³\]

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, первые несколько членов которой являются 17, 68, 272, ..., равен 17 ⋅ р³.

Г) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а первый член (b₁) равен 16, мы можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии, где б₁ - первый член, р - знаменатель:

\[бₙ = б₁ ⋅ р^(н-1)\]

Подставим значения: б₁ = 16, р = 2, н = 4
\[б₄ = 16 ⋅ 2^(4-1) = 16 ⋅ 2³\]

Вычислим значение:
б₄ = 16 ⋅ 2³ = 16 ⋅ 8 = 128

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 2, а первый член (b₁) равен 16, равен 128.

Д) Чтобы найти четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 4, а первый член (b₁) равен 1/4, мы также можем использовать формулу для общего члена геометрической прогрессии:

\[бₙ = б₁ ⋅ р^(н-1)\]

Подставим значения: б₁ = \(\frac{1}{4}\), р = 4, н = 4
\[б₄ = \frac{1}{4} ⋅ 4^(4-1) = \frac{1}{4} ⋅ 4³\]

Вычислим значение:
б₄ = \(\frac{1}{4} ⋅ 4³\) = \(\frac{1}{4} ⋅ 64\) = 16

Ответ: четвёртый член геометрической прогрессии, знаменатель которой равен 4, а первый член (b₁) равен 1/4, равен 16.

Е) Чтобы найти сумму первых 6 членов геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ, мы можем использовать формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии:

\[Сₙ = \frac{б₁ ⋅ (1 - рⁿ)}{1-р}\]

Подставим значения: б₁ = 3, р = 0,5, н = 6
\[C₆ = \frac{3 ⋅ (1 - 0,5⁶)}{1-0,5}\]

Вычислим значение:
\[C₆ = \frac{3 ⋅ (1 - 0,015625)}{0,5}\]

\[C₆ = \frac{3 ⋅ 0,984375}{0,5}\]

\[C₆ = \frac{2,953125}{0,5}\]

\[C₆ = 5,90625\]

Ответ: сумма первых 6 членов геометрической прогрессии, заданной условием бₙ = 3 ⋅ (0,5)ⁿ, равна 5,90625.