А) Найдите значения x, при которых уравнение 2cos^2(3pi/2+x)+√3sinx=0. б) Определите все значения x, которые являются

Дмитриевич

7

Давайте решим уравнение по порядку:

а) Уравнение имеет вид:
\[2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2}+x\right)+\sqrt{3}\sin(x)=0\]

Для начала, раскроем квадрат:
\[2\left(\frac{1+\cos(2\cdot\frac{3\pi}{2}+2x)}{2}\right)+\sqrt{3}\sin(x)=0\]

Сократим на 2 и упростим:
\[\cos(2x+3\pi)+\sqrt{3}\sin(x)=0\]

Заметим, что \(\cos(2x+3\pi)=-\cos(2x)\) и \(\cos(2x)=\cos(-2x)\):
\[-\cos(2x)+\sqrt{3}\sin(x)=0\]

Теперь, можем выразить \(\cos(2x)\) через \(\sin(x)\) с помощью того факта, что \(\sin^2(x)+\cos^2(x)=1\). Домножим обе части на \(\sin(x)\):
\[-\cos^2(2x)+\sqrt{3}\sin^2(x)=0\]

Используем формулу двойного аргумента \(2\sin^2(x)=1-\cos(2x)\):
\[-\cos^2(2x)+\sqrt{3}\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)=0\]

Раскроем скобки и упростим:
\[-\cos^2(2x)+\frac{\sqrt{3}-\sqrt{3}\cos(2x)}{2}=0\]

Перенесём все члены уравнения в левую часть:
\[-\cos^2(2x)-\frac{\sqrt{3}\cos(2x)}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=0\]

Теперь, проведём замену:
\(t = \cos(2x)\), тогда получим:
\[-t^2 - \frac{\sqrt{3}t}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} = 0\]

Данное квадратное уравнение можно решить с помощью дискриминанта. Выразим его:
\[D = \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 4\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{3}{4} + 3 = \frac{15}{4}\]

Теперь, найдём корни уравнения:
\[t_{1,2} = \frac{-\frac{\sqrt{3}}{2} \pm \frac{\sqrt{15}}{2}}{-2}\]
\[t_{1,2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{15}}{4}\]

Так как \(t = \cos(2x)\), то подставим найденные значения в выражение:
\[\cos(2x_1) = \frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{4}\]
\[\cos(2x_2) = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{15}}{4}\]

Теперь, найдём значения \(x\) на интервале от 0 до \(2\pi\) для каждого \(x_1\) и \(x_2\):
\[2x_1 = \arccos\left(\frac{\sqrt{3} + \sqrt{15}}{4}\right)\]
\[2x_2 = \arccos\left(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{15}}{4}\right)\]

Таким образом, ответом на задачу являются значения \(x_1\) и \(x_2\) на интервале от 0 до \(2\pi\).

б) Теперь найдём значения \(x\) на интервале отрезка \(5\pi/2\). Подставим \(x = 5\pi/2\) в уравнение и проверим, является ли это корнем:
\[2\cos^2\left(\frac{3\pi}{2} + \frac{5\pi}{2}\right) + \sqrt{3}\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0\]
\[\cos^2\left(\frac{4\pi}{2}\right) + \sqrt{3}\sin\left(\frac{5\pi}{2}\right) = 0\]
\[\cos^2\left(2\pi\right) + \sqrt{3}(-1) = 0\]
\[1 - \sqrt{3} = 0\]

Получили противоречие, так как \(1-\sqrt{3}\neq 0\). Значит, уравнение не имеет корней на интервале \(\left[5\pi/2, 2\pi\right]\).

Таким образом, ответом на задачу являются найденные значения \(x_1\) и \(x_2\) на интервале от 0 до \(2\pi\).