а) Найдите значения x в уравнении tg(2п+х)cos(п/2+2х)=cos п. б) Определите корни данного уравнения, которые принадлежат

Веселый_Зверь

44

Давайте разберемся с задачей по порядку. У нас есть уравнение:

\[ \tan(2\pi + x)\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = \cos\pi \]

Первый шаг, который мы можем сделать, это упростить уравнение.

Используя тригонометрические тождества, мы знаем следующее:
\(\cos\pi = -1\), а \(\cos\left(\frac{\pi}{2} + 2x\right) = -\sin 2x\).

Теперь уравнение имеет вид:

\[ \tan(2\pi + x) \cdot (-\sin 2x) = -1 \]

Так как \(\tan\) является отношением \(\sin\) к \(\cos\), мы можем заменить \(\tan(2\pi + x)\) следующим образом:

\[ \tan(2\pi + x) = \tan x \]

Теперь уравнение принимает вид:

\[ \tan x \cdot (-\sin 2x) = -1 \]

Теперь мы можем решить это уравнение. Перепишем его в виде:

\[ \sin 2x \cdot \tan x = 1 \]

Теперь применим формулу двойного угла для \(\sin 2x\):

\[ \sin 2x = 2 \sin x \cos x \]

Подставим это обратно в уравнение:

\[ 2 \sin x \cos x \cdot \tan x = 1 \]

Мы можем упростить уравнение, используя формулу \(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\):

\[ 2 \sin x \cos x \cdot \frac{\sin x}{\cos x} = 1 \]

Теперь у нас есть следующее уравнение:

\[ 2 \sin^2 x = 1 \]

Поделим обе стороны уравнения на 2:

\[ \sin^2 x = \frac{1}{2} \]

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

\[ \sin x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}} \]

Найдем значения \(\sin x\):

\[ \sin x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \]

С учетом промежутка \([3\pi; \frac{9\pi}{2}]\), мы видим, что угол \(x\) должен принадлежать этому интервалу, где \(3\pi \leq x \leq \frac{9\pi}{2}\).

Теперь, для нахождения конкретных значений \(x\), мы можем вспомнить значения синусов для некоторых особых углов.

Мы знаем, что \(\sin(\frac{\pi}{4}) = \frac{1}{\sqrt{2}}\) и \(\sin(\frac{7\pi}{4}) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\).

Таким образом, мы можем сделать вывод, что возможные значения \(x\) в заданном интервале равны:

\[ x_1 = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \]
и
\[ x_2 = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

Итак, ответом на задачу являются все значения \(x\) из указанного интервала, которые можно представить в виде:

\[ x = \frac{\pi}{4} + 2\pi n \quad \text{или} \quad x = \frac{7\pi}{4} + 2\pi n \quad (n \in \mathbb{Z}) \]

Таким образом, это наши итоговые решения задачи.