Если sin(x) = -2/7, как вычислить cos(2x) с использованием формулы для двойного аргумента?

Mariya

15

Хорошо, давайте решим вашу задачу. Мы знаем, что \( \sin(x) = -\frac{2}{7} \). Чтобы вычислить \( \cos(2x) \) с использованием формулы для двойного аргумента, нам понадобится знание связи между синусом и косинусом двойного аргумента - формула двойного аргумента для косинуса:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]

Нам известно значение синуса одиночного аргумента \( \sin(x) = -\frac{2}{7} \), поэтому мы сможем вычислить косинус одиночного аргумента \( \cos(x) \) с использованием формулы Пифагора:

\[ \cos(x) = \sqrt{1 - \sin^2(x)} \]

Теперь, когда у нас есть значение \( \cos(x) \), мы можем подставить его в формулу для двойного аргумента косинуса и вычислить \( \cos(2x) \). Давайте сделаем это:

\[ \cos^2(x) = \left(\sqrt{1 - \sin^2(x)}\right)^2 \]
\[ \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \]
\[ \cos^2(x) = 1 - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 \]
\[ \cos^2(x) = 1 - \frac{4}{49} \]
\[ \cos^2(x) = \frac{45}{49} \]
\[ \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{45}}{\sqrt{49}} \]
\[ \cos(x) = \pm \frac{\sqrt{45}}{7} \]

Теперь, когда у нас есть значение \( \cos(x) \), мы можем вычислить \( \cos(2x) \) подставив его обратно в формулу для двойного аргумента косинуса:

\[ \cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x) \]
\[ \cos(2x) = \left(\pm \frac{\sqrt{45}}{7}\right)^2 - \left(-\frac{2}{7}\right)^2 \]
\[ \cos(2x) = \frac{45}{49} - \frac{4}{49} \]
\[ \cos(2x) = \frac{41}{49} \]

Итак, \( \cos(2x) = \frac{41}{49} \).