A) Постройте диаграмму f(x) = cos(x+π/6)-1 б) Отметьте интервалы, на которых функция возрастает и убывает, и определите

Аида

40

Хорошо, начнем с задачи A.

Для построения диаграммы функции \(f(x) = \cos(x+\frac{\pi}{6})-1\) нам сначала нужно понять, как ведет себя функция и определить ее основные характеристики.

Функция \(f(x)\) - это синусоидальная функция, сдвинутая на \(\frac{\pi}{6}\) влево и сниженная на 1. Подробнее, синусоидальная функция \(g(x) = \cos(x)\) имеет период 2\(\pi\) и амплитуду 1. Сдвиг функции влево на \(\frac{\pi}{6}\) приведет к смещению пика функции в точке \(\frac{\pi}{6}\).

Теперь, когда мы понимаем базовые характеристики функции, давайте начнем строить диаграмму. Мы будем строить график для всех значений \(x\) в диапазоне от 0 до \(2\pi\), чтобы включить один полный период функции.

1. Найдем основные точки пересечения с осями координат:

Для точек пересечения с осью \(y\) решим уравнение \(f(x) = 0\):
\(\cos(x+\frac{\pi}{6})-1 = 0\)

Решая это уравнение, получим:
\(\cos(x+\frac{\pi}{6}) = 1\)
\(x+\frac{\pi}{6} = 0\) (так как \(\cos(0) = 1\))
\(x = -\frac{\pi}{6}\)

То есть, график функции пересекает ось \(y\) в точке \((-frac{\pi}{6}, 0)\).

2. Найдем пик функции:

Так как график функции сдвинут на \(\frac{\pi}{6}\) влево, пик будет достигаться в точке \((\frac{\pi}{6}, -1)\), так как при \(x = \frac{\pi}{6}\) значение всех слагаемых в формуле \(f(x)\) будет максимальным.

3. Вспомним, что функция \(f(x)\) является синусоидой:
- Функция возрастает на интервалах, где ее значение увеличивается по мере увеличения \(x\).
- Функция убывает на интервалах, где ее значение уменьшается по мере увеличения \(x\).


Для диаграммы функции \(f(x)\) мы можем применить следующий подход:
- Найдем точки возрастания и убывания в пределах одного периода функции \(g(x) = \cos(x)\).
- После этого учтем сдвиг функции на \(\frac{\pi}{6}\) влево и снижение на 1, чтобы определить интервалы возрастания и убывания для функции \(f(x)\).

Давайте начнем:

1. Определим интервалы возрастания и убывания функции \(g(x) = \cos(x)\) на промежутке \([0, 2\pi]\).
- Функция \(g(x)\) возрастает, когда \(0 \leq x < \pi\).
- Функция \(g(x)\) убывает, когда \(\pi \leq x \leq 2\pi\).

2. Применим сдвиг и снижение к функции \(g(x)\). Функция \(f(x) = \cos(x+\frac{\pi}{6})-1\) будет возрастать на интервалах, где \(0 \leq x < \pi\), сдвинутых на \(\frac{\pi}{6}\) влево и сниженных на 1. Аналогично, функция \(f(x)\) будет убывать на интервалах, где \(\pi \leq x \leq 2\pi\), сдвинутых на \(\frac{\pi}{6}\) влево и сниженных на 1.

3. Итак, интервалы возрастания функции \(f(x)\) будут:
\((-\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6})\), \((\frac{11\pi}{6}, \frac{17\pi}{6})\), \((\frac{23\pi}{6}, \frac{29\pi}{6})\), и так далее.

4. Интервалы убывания функции \(f(x)\) будут:
\((\frac{5\pi}{6}, \frac{11\pi}{6})\), \((\frac{17\pi}{6}, \frac{23\pi}{6})\), \((\frac{29\pi}{6}, \frac{35\pi}{6})\), и так далее.

Теперь, посмотрим на корни функции \(f(x)\). Корни функции являются значениями \(x\), при которых функция равна нулю, то есть \(f(x) = 0\).

Функция \(f(x) = \cos(x+\frac{\pi}{6})-1\) будет равняться нулю, когда \(\cos(x+\frac{\pi}{6}) = 1\), так как \(1-1 = 0\).

Применим обратную функцию \(\cos^{-1}\) и решим уравнение:
\(\cos(x+\frac{\pi}{6}) = 1 \Rightarrow x+\frac{\pi}{6} = 0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{6}\).

Таким образом, корень функции \(f(x)\) будет \(x = -\frac{\pi}{6}\).

На этом мы завершили построение диаграммы функции \(f(x) = \cos(x+\frac{\pi}{6})-1\) и определение интервалов возрастания/убывания и корня функции. Разумеется, в реальной ситуации график функции следует нарисовать с помощью координатной плоскости. Я надеюсь, что мой ответ был подробным и понятным для вас. Если у вас остались какие-либо вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.