На графике изображена функция, определенная на интервале [-5; 6). Пожалуйста, определите максимальное значение этой

Sergeevich_895

29

Хорошо! Чтобы определить максимальное значение функции на заданном интервале, нужно проанализировать график функции. Для начала, можно посмотреть, где график достигает своих пиковых точек или экстремумов.

На графике функции можно наблюдать, что она начинает возрастать с самого левого значения интервала (-5) и продолжает это возрастание до достижения точки перегиба. После точки перегиба функция начинает убывать. Таким образом, чтобы найти максимальное значение функции, мы должны искать ее экстремумы, то есть вершины нашего графика.

Чтобы найти эти экстремумы, нам нужно проанализировать производную функции. Если производная меняет знак с положительного на отрицательный, то это означает, что функция достигает максимальной точки. Поэтому, чтобы найти эту точку, нам нужно найти момент, когда производная становится отрицательной.

Давайте найдем производную и проанализируем ее знак на заданном интервале. Пусть \(f(x)\) - наша функция. Чтобы найти производную, мы возьмем производную от \(f(x)\) по переменной \(x\), используя правило дифференцирования степенной функции:

\[
f"(x) = \frac{{d}}{{dx}} (x^3 - 7x^2 + 5x + 2)
\]

Вычислим производную:

\[
f"(x) = 3x^2 - 14x + 5
\]

Теперь проанализируем знак производной на интервале [-5; 6). Для этого найдем значения \(x\), для которых \(f"(x) < 0\). После этого мы сможем определить момент, когда функция достигает максимальной точки.

Для выполнения этой задачи, найдем корни уравнения \(f"(x) = 3x^2 - 14x + 5 = 0\) с помощью квадратного уравнения. Формула для нахождения корней квадратного уравнения имеет вид:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{d}}}}{{2a}}
\]

где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), а \(d = b^2 - 4ac\) - дискриминант.

В нашем случае, коэффициенты уравнения \(3x^2 - 14x + 5 = 0\) равны: \(a = 3\), \(b = -14\) и \(c = 5\). Вычислим значение дискриминанта \(d\):

\[
d = (-14)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 196 - 60 = 136
\]

Так как дискриминант \(d\) положительный, мы имеем два корня:

\[
x_1 = \frac{{-(-14) + \sqrt{{136}}}}{{2 \cdot 3}} \approx 3.3
\]
\[
x_2 = \frac{{-(-14) - \sqrt{{136}}}}{{2 \cdot 3}} \approx 0.4
\]

Теперь мы знаем, что функция \(f(x)\) меняет свой знак с положительного на отрицательный при \(x_1 \approx 3.3\) и с отрицательного на положительный при \(x_2 \approx 0.4\). Именно в этих точках функция достигает своих экстремумов.

Вернемся к графику функции и найдем соответствующие значения \(f(x_1)\) и \(f(x_2)\) для точек \(x_1\) и \(x_2\). Эти значения будут максимальными значениями функции на заданном интервале.

Подставим \(x_1\) и \(x_2\) в нашу функцию \(f(x)\):

\[
f(x_1) = f(3.3) = (3.3)^3 - 7(3.3)^2 + 5(3.3) + 2 \approx 6.17
\]
\[
f(x_2) = f(0.4) = (0.4)^3 - 7(0.4)^2 + 5(0.4) + 2 \approx 3.66
\]

Таким образом, на интервале [-5; 6) максимальное значение функции равно примерно 6.17.