Какое максимальное значение принимает функция y=x+(4/x)+14 на интервале [-11 -0,5]?

Gennadiy

59

Хорошо, чтобы найти максимальное значение функции \(y = x + \frac{4}{x} + 14\) на интервале \([-11, -0.5]\), мы сначала найдем точки, где происходит изменение градиента. Для этого мы найдем производную функции и приравняем ее к нулю.

Сначала найдем производную функции \(y\) по переменной \(x\). Производная функции \(y\) будет равна сумме производных каждого из слагаемых:
\[
\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} (x) + \frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x}\right) + \frac{d}{dx} (14)
\]

Вычислим каждую производную:
\[
\frac{dy}{dx} = 1 + \frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x}\right) + 0
\]

Теперь возьмем производную \(\frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x}\right)\):
\[
\frac{d}{dx} \left(\frac{4}{x}\right) = 4 \cdot \frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x}\right) = -4 \cdot \frac{1}{x^2}
\]

Таким образом, производная функции \(y\) равна:
\[
\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{4}{x^2}
\]

Теперь приравняем производную нулю:
\[
\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{4}{x^2} = 0
\]

Решим уравнение и найдем значения \(x\), в которых производная равна нулю:
\[
1 - \frac{4}{x^2} = 0
\]

Умножим обе части уравнения на \(x^2\) и переместим все слагаемые в одну сторону:
\[
x^2 = 4
\]

Чтобы найти значения \(x\), возьмем квадратный корень от обеих сторон:
\[
x = \pm 2
\]

Таким образом, у нас есть две кандидатуры на точки изменения градиента: \(x = -2\) и \(x = 2\).

Теперь найдем значения функции \(y\) в обоих кандидатурных точках и найдем наибольшее значение:
\[
y(-2) = -2 + \frac{4}{-2} + 14 = -2 - 2 + 14 = 10
\]
\[
y(2) = 2 + \frac{4}{2} + 14 = 2 + 2 + 14 = 18
\]

Итак, функция \(y\) принимает максимальное значение \(18\) на интервале \([-11, -0.5]\) в точке \(x = 2\).