Восьмиклассники, вам предстоит решить задания по рациональным уравнениям и изучить функцию y=k/x и ее график. Это будет

Солнечная_Радуга

69

Конечно, я помогу вам с заданиями по рациональным уравнениям и изучению функции \(y = \frac{k}{x}\) и ее графика. Давайте начнем с заданий по рациональным уравнениям.

1. Решите уравнение \(\frac{3}{x} + 1 = \frac{5}{2}\).

Решение:
Мы можем начать с умножения обеих сторон уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\[2 \cdot \left(\frac{3}{x} + 1\right) = 2 \cdot \frac{5}{2}\]
Упрощаем:
\[2 \cdot \frac{3}{x} + 2 \cdot 1 = 5\]
\[\frac{6}{x} + 2 = 5\]
Теперь вычитаем 2 из обеих сторон уравнения:
\[\frac{6}{x} = 5 - 2\]
\[\frac{6}{x} = 3\]
Домножаем обе стороны на \(x\):
\[x \cdot \frac{6}{x} = 3 \cdot x\]
\(x\) сокращается:
\[6 = 3x\]
Разделяя обе стороны на 3, получим:
\[x = \frac{6}{3}\]
\[x = 2\]

Ответ: \(x = 2\).

2. Решите уравнение \(\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{4}{x^2-1}\).

Решение:
Для начала приведем все дроби к общему знаменателю \(x^2 - 1\):
\(\frac{x+1}{x^2-1} + \frac{x-1}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-1}\)
Теперь сложим дроби:
\(\frac{x+1+x-1}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-1}\)
\(\frac{2x}{x^2-1} = \frac{4}{x^2-1}\)
Теперь умножим обе стороны уравнения на \(x^2 - 1\), чтобы избавиться от знаменателя:
\(2x = 4\)
Разделим обе стороны уравнения на 2, чтобы найти значение \(x\):
\(x = 2\)

Ответ: \(x = 2\)

Теперь перейдем к изучению функции \(y = \frac{k}{x}\) и ее графика.

Функция \(y = \frac{k}{x}\) является рациональной функцией. Ее график представляет собой гиперболу. Заметим, что функция не определена для \(x = 0\), так как деление на ноль невозможно.

Чтобы построить график функции \(y = \frac{k}{x}\), мы можем выбрать различные значения \(k\) и \(x\) и построить соответствующие точки на координатной плоскости. Вот несколько примеров:

- При \(k = 1\) получаем функцию \(y = \frac{1}{x}\).
Допустим, мы выберем значения \(-2\), \(-1\), \(1\) и \(2\) для \(x\). Тогда соответствующие значения \(y\) будут \(-\frac{1}{2}\), \(-1\), \(1\) и \(\frac{1}{2}\).

Таким образом, точки графика будут: \((-2, -\frac{1}{2})\), \((-1, -1)\), \((1, 1)\), \((2, \frac{1}{2})\).

График будет выглядеть как гипербола, проходящая через эти точки.

- При \(k = 2\) получаем функцию \(y = \frac{2}{x}\).
Допустим, мы выберем значения \(-2\), \(-1\), \(1\) и \(2\) для \(x\). Тогда соответствующие значения \(y\) будут \(-1\), \(-2\), \(2\) и \(1\).

Таким образом, точки графика будут: \((-2, -1)\), \((-1, -2)\), \((1, 2)\), \((2, 1)\).

График будет иметь такую же форму гиперболы, но будет проходить через эти точки.

Таким образом, график функции \(y = \frac{k}{x}\) будет представлять собой гиперболу, проходящую через различные точки, в зависимости от значения \(k\).