А) Решите уравнение, в котором есть выражение 4cos2x+10cos(x+3π)+4=0. б) Найдите все значения корней этого уравнения

Lesnoy_Duh

4

Хорошо, давайте посмотрим на решение этой задачи.

а) У нас дано уравнение: \(4\cos(2x) + 10\cos(x + 3\pi) + 4 = 0\).

Чтобы решить это уравнение, мы можем использовать тригонометрические тождества и формулы. Начнем с разложения \(cos(2x)\):

\[cos(2x) = 2cos^2(x) - 1.\]

Теперь давайте подставим это в изначальное уравнение и заменим \(cos(x + 3\pi)\) на \(-cos(x)\):

\[4(2cos^2(x) - 1) + 10(-cos(x)) + 4 = 0.\]

Раскроем скобки и упростим:

\[8cos^2(x) - 4 - 10cos(x) + 4 = 0.\]

Теперь сложим все слагаемые и перенесем все на одну сторону:

\[8cos^2(x) - 10cos(x) = 0.\]

Можно заметить, что оба слагаемых содержат \(cos(x)\), поэтому можем вынести его за скобку:

\[cos(x)(8cos(x) - 10) = 0.\]

Теперь мы имеем два возможных варианта для равенства нулю: \(cos(x) = 0\) или \(8cos(x) - 10 = 0\).

Если \(cos(x) = 0\), то это означает, что \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\), где \(k\) - любое целое число.

Если \(8cos(x) - 10 = 0\), то можем решить это уравнение:

\[8cos(x) = 10,\]

\[cos(x) = \frac{10}{8},\]

\[cos(x) = \frac{5}{4}.\]

Однако угол \(x\) может быть в диапазоне от \(-\pi\) до \(\pi\), поэтому нужно проверить, находится ли значение \(\frac{5}{4}\) в этом диапазоне. Если да, то будем иметь дополнительный корень.

Поскольку мы ищем решение для интервала \([-3\pi/2, 3\pi/2]\), то значение \(\frac{5}{4}\) находится в данном интервале.

Таким образом, корни данного уравнения находятся при \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) (где \(k\) - целое число) и \(x = \arccos(\frac{5}{4})\).

b) Для того чтобы найти все значения корней, находящихся в интервале \([-3\pi/2, 3\pi/2]\), нужно проверить каждый корень, найденный в предыдущей части задачи, и убедиться, что они удовлетворяют данному интервалу.

Если мы подставим \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\) и \(x = \arccos(\frac{5}{4})\) в интервал, то мы получим следующие значения:

При \(x = \frac{\pi}{2} + \pi k\):
- Когда \(k = -2\), \(x = -\frac{3\pi}{2}\), что находится в интервале.
- Когда \(k = -1\), \(x = -\frac{\pi}{2}\), что находится в интервале.
- Когда \(k = 0\), \(x = \frac{\pi}{2}\), что находится в интервале.
- Когда \(k = 1\), \(x = \frac{3\pi}{2}\), что находится в интервале.

При \(x = \arccos(\frac{5}{4})\):
Мы можем вычислить значение в радианах, а затем проверить, находится ли оно в интервале:

\[\arccos(\frac{5}{4}) \approx 0.7227.\]

Таким образом, получаем, что корни уравнения, находящиеся в интервале \([-3\pi/2, 3\pi/2]\), равны: \(x = -\frac{3\pi}{2}, -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}\) и \(x = \arccos(\frac{5}{4})\).

Надеюсь, эта подробная информация о решении задачи помогла вам в понимании данного материала! Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать.