а) В точке М(2;4) найдите угловые коэффициенты касательной и нормали к кривой y=1/x. б) В точке N(3;6) найдите угловые

Ярус

20

Хорошо, давайте начнем с задачи а).

а) Для начала, нам понадобится найти производную функции \(y = \frac{1}{x}\), чтобы определить угловые коэффициенты касательной и нормали в точке М(2;4).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = \frac{1}{x}\).
Для этого применим правило дифференцирования функции, содержащей обратную пропорциональность:
\[y" = -\frac{1}{{x^2}}\]

Шаг 2: Найдем значение производной в точке М(2;4).
Подставим \(x = 2\) в выражение \(y" = -\frac{1}{{x^2}}\) и рассчитаем:
\[y" = -\frac{1}{{2^2}} = -\frac{1}{4}\]

Угловой коэффициент касательной в точке М(2;4) равен \(-\frac{1}{4}\).

Шаг 3: Найдем угловой коэффициент нормали.
Угловой коэффициент нормали всегда является обратным по знаку и значению к угловому коэффициенту касательной.
Таким образом, угловой коэффициент нормали в точке М(2;4) будет равен \(\frac{1}{4}\).

Теперь перейдем к задаче б).

б) В данной задаче нам необходимо найти угловые коэффициенты касательной и нормали к кривой \(y = 2x^2 + 1\) в точке N(3;6).

Шаг 1: Найдем производную функции \(y = 2x^2 + 1\).
Для этого используем правило дифференцирования функции, содержащей степенную функцию:
\[y" = 4x\]

Шаг 2: Найдем значение производной в точке N(3;6).
Подставим \(x = 3\) в выражение \(y" = 4x\) и рассчитаем:
\[y" = 4 \cdot 3 = 12\]

Угловой коэффициент касательной в точке N(3;6) равен 12.

Шаг 3: Найдем угловой коэффициент нормали.
Угловой коэффициент нормали всегда является обратным по знаку и значению к угловому коэффициенту касательной.
Таким образом, угловой коэффициент нормали в точке N(3;6) будет равен \(-\frac{1}{12}\).

Итак, угловые коэффициенты касательной и нормали к кривой \(y = 2x^2 + 1\) в точке N(3;6) соответственно равны 12 и \(-\frac{1}{12}\).