А5. а) Определите меру центрального угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, если точки А и В делят окружность
А5. а) Определите меру центрального угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, если точки А и В делят окружность на две дуги, и соотношение их длин составляет 5:6.
б) Определите меру вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, если точки А и В делят окружность на две дуги, и соотношение их длин составляет 11:30.
б) Определите меру вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, если точки А и В делят окружность на две дуги, и соотношение их длин составляет 11:30.
Anzhela 4
Для решения этой задачи нам понадобятся некоторые свойства окружностей. Давайте начнем с пункта а:a) Чтобы найти меру центрального угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, мы можем использовать пропорцию длин дуг.
Пусть \(x\) - это мера искомого центрального угла в градусах. Обозначим длины дуг, которые образуются точками А и В соответственно, через \(l_1\) и \(l_2\).
По условию задачи, соотношение длин дуг составляет 5:6. Это означает, что \(\frac{{l_1}}{{l_2}} = \frac{{5}}{{6}}\).
Теперь вспомним связь между мерой центрального угла и длиной соответствующей дуги: мера центрального угла, выраженная в градусах, равна отношению длины дуги к радиусу окружности, умноженному на 360° (полный угол вокруг окружности равен 360°). Таким образом, для меньшей дуги получаем:
\(x = \frac{{l_1}}{{r}} \cdot 360°\),
где \(r\) - радиус окружности.
Теперь мы можем преобразовать пропорцию длин дуг в пропорцию мер центральных углов и выразить \(l_1\) через \(l_2\):
\(\frac{{l_1}}{{l_2}} = \frac{{5}}{{6}} = \frac{{x}}{{360°}}\).
Теперь нам нужно найти величину \(r\), чтобы выразить \(x\) в доли от полного угла:
\(x = \frac{{5}}{{6}} \cdot 360° = 300°\).
Таким образом, мера центрального угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, равна 300°.
б) Для определения меры вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, мы также можем использовать пропорцию длин дуг.
Обозначим меру искомого вписанного угла через \(y\). Используя аналогичную логику, мы можем записать пропорцию между мерами вписанного угла и центрального угла:
\(\frac{{y}}{{x}} = \frac{{l_1}}{{l_2}}\), где \(x\) - мера центрального угла, которую мы найдем в пункте а.
Подставив значения \(x = 300°\) и \(\frac{{l_1}}{{l_2}} = \frac{{11}}{{30}}\), мы можем выразить \(y\):
\(\frac{{y}}{{300°}} = \frac{{11}}{{30}}\).
Теперь решим это уравнение:
\(\frac{{y}}{{300°}} = \frac{{11}}{{30}} \Rightarrow y = \frac{{11}}{{30}} \cdot 300° = 110°\).
Таким образом, мера вписанного угла, опирающегося на меньшую дугу окружности, равна 110°.