Аlgebra class 10. Test №2 on the topic Derivatives Calculation . Variant 1. 1. Find the derivatives of the functions

Артемович

36

Задача 1:

a) Для нахождения производной функции \(f(x) = 6x^{10-1}\), мы можем использовать правило степенной функции и правило константы при производных. Применяя первое правило, мы получаем:

\[f"(x) = 10 \cdot 6x^{10-1-1} = 60x^8.\]

b) Для функции \(f(x) = 12x^7 + 17x^3\), мы можем использовать правило суммы и правило степенной функции для каждого слагаемого. Применяя эти правила, мы получаем:

\[f"(x) = 12 \cdot 7x^{7-1} + 17 \cdot 3x^{3-1} = 84x^6 + 51x^2.\]

c) Для функции \(f(x) = 11x^6 + 5x - 24 - 2x^3\), мы можем использовать правило суммы и правило степенной функции для каждого слагаемого. Применяя эти правила, мы получаем:

\[f"(x) = 11 \cdot 6x^{6-1} + 5 \cdot 1x^{1-1} - 3 \cdot 2x^{3-1} = 66x^5 + 5 - 6x^2.\]

d) Для функции \(f(x) = (3x-14) \cdot (3x^2 + 5)\), мы можем использовать правило произведения и правило суммы, чтобы найти производную. Применяя эти правила, мы получаем:

\[f"(x) = (3x) \cdot (3x^2 + 5) + (3) \cdot (3x^2 + 5) = 9x^3 + 15x + 9x^2 + 15.\]

e), f), g) Здесь в задаче даны названия файлов, а не функции. Невозможно найти производную от имени файла, поэтому эти задачи не могут быть решены.

Задача 2:

a) Для функции \(f(x) = (3x-2)^7\), мы можем использовать правило степенной функции и правило цепной производной. Применяя эти правила, мы получаем:

\[f"(x) = 7(3x-2)^6 \cdot 3 = 21(3x-2)^6.\]

Чтобы найти значения производной при \(x = 1\) и \(x = 0\), подставим значения \(x\) в полученную производную:

\[f"(1) = 21(3\cdot1-2)^6 = 21 \cdot 1^6 = 21.\]

\[f"(0) = 21(3\cdot0-2)^6 = 21 \cdot (-2)^6 = 672.\]

b) Для функции \(f(x) = (6-4x)^{11}\), мы также можем использовать правило степенной функции и правило цепной производной. Применяя эти правила, мы получаем:

\[f"(x) = 11(6-4x)^{11-1} \cdot (-4) = -44(6-4x)^{10}.\]

Подставляя значения \(x\) в полученную производную, получаем:

\[f"(1) = -44(6-4\cdot1)^{10} = -44 \cdot 2^{10} = -44 \cdot 1024 = -45056.\]

\[f"(0) = -44(6-4\cdot0)^{10} = -44 \cdot 6^{10}.\]

c) В задаче дано имя графического файла, поэтому невозможно найти производную от графического файла. У этой задачи нет решения.

Задача 3:

Для нахождения силы, действующей на тело с массой 63 кг, движущееся по прямой с законом движения \(S(x) = 25x - 2x^2\), нам нужно найти производную от закона движения. Производная будет представлять собой скорость тела.

\[S"(x) = 25 - 4x.\]

Это выражение показывает скорость тела в зависимости от его положения. Сила, действующая на тело, равна произведению массы тела на его ускорение. Чтобы найти ускорение, которое является производной скорости по времени, мы должны найти производную скорости по времени, то есть взять вторую производную. Результат - вторая производная показывает ускорение тела:

\[S""(x) = -4.\]

Теперь мы можем найти силу, умножив массу тела на ускорение:

\[F = m \cdot a = 63 \cdot (-4) = -252.\]

Сила, действующая на тело, равна -252 Ньютона.