Билет до Москвы можно приобрести в одной из трех касс. Вероятность покупки билета в первой кассе составляет 1/2

Татьяна

15

Давайте решим данную задачу поэтапно.

а) Чтобы найти вероятность успеха в покупке билета до Москвы, нужно сложить вероятности покупки билета в каждой кассе с учетом вероятности того, что в каждой кассе больше нет билетов.

Вероятность покупки билета в первой кассе составляет 1/2, вероятность того, что в первой кассе нет билетов - 1/8. Поэтому вероятность успеха в покупке билета в первой кассе равна произведению этих вероятностей: \( P(\text{билет в первой кассе}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{8} = \frac{1}{16} \).

Аналогично, вероятность покупки билета во второй кассе составляет 1/3, а вероятность того, что во второй кассе нет билетов - 1/6. Таким образом, вероятность успеха в покупке билета во второй кассе равна: \( P(\text{билет во второй кассе}) = \frac{1}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{18} \).

Наконец, вероятность покупки билета в третьей кассе равна 1/6, а вероятность того, что в третьей кассе нет билетов - 1/4. Таким образом, вероятность успеха в покупке билета в третьей кассе составляет: \( P(\text{билет в третьей кассе}) = \frac{1}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{24} \).

Теперь найдем общую вероятность успеха в покупке билета до Москвы, сложив вероятности успеха в каждой кассе:

\[ P(\text{успех в покупке билета}) = P(\text{билет в первой кассе}) + P(\text{билет во второй кассе}) + P(\text{билет в третьей кассе}) \]

\[ P(\text{успех в покупке билета}) = \frac{1}{16} + \frac{1}{18} + \frac{1}{24} = \frac{3}{48} + \frac{2}{36} + \frac{2}{48} = \frac{12}{192} + \frac{8}{192} + \frac{8}{192} = \frac{28}{192} = \frac{7}{48} \]

Таким образом, вероятность успеха в покупке билета до Москвы составляет \( \frac{7}{48} \).

б) Поскольку вероятность покупки билета в каждой кассе различна, чтобы определить, в какой кассе был куплен билет до Москвы, нужно вычислить условные вероятности покупки билета в каждой кассе при условии, что был приобретен билет до Москвы.

Условная вероятность покупки билета в первой кассе при условии, что был приобретен билет до Москвы, вычисляется следующим образом:

\[ P(\text{билет в первой кассе | успех в покупке билета}) = \frac{P(\text{билет в первой кассе})}{P(\text{успех в покупке билета})} \]

\[ P(\text{билет в первой кассе | успех в покупке билета}) = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{7}{48}} = \frac{1}{2} \times \frac{48}{7} = \frac{24}{7} \]

Аналогично, условная вероятность покупки билета во второй кассе при условии, что был приобретен билет до Москвы, равна:

\[ P(\text{билет во второй кассе | успех в покупке билета}) = \frac{P(\text{билет во второй кассе})}{P(\text{успех в покупке билета})} = \frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{48}} = \frac{1}{3} \times \frac{48}{7} = \frac{16}{7} \]

Наконец, условная вероятность покупки билета в третьей кассе при условии, что был приобретен билет до Москвы, равна:

\[ P(\text{билет в третьей кассе | успех в покупке билета}) = \frac{P(\text{билет в третьей кассе})}{P(\text{успех в покупке билета})} = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{7}{48}} = \frac{1}{6} \times \frac{48}{7} = \frac{8}{7} \]

Таким образом, наиболее вероятно, что билет был куплен во второй кассе, поскольку условная вероятность покупки билета во второй кассе при условии, что был приобретен билет до Москвы, наибольшая и равна \( \frac{16}{7} \).