Будь ласка, перепишіть вираз: sin(π/2+α)+cos(π+α)+ctg(2π-α)+tg(3π/2-α

Solnechnyy_Sharm

59

Решение:

Для начала давайте разберемся с каждым тригонометрическим выражением по отдельности:

1. \( \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) \):
Используя формулу синуса суммы углов, мы можем записать:
\[ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) = \sin(\frac{\pi}{2})\cos(\alpha) + \cos(\frac{\pi}{2})\sin(\alpha) = 1 \cdot \cos(\alpha) + 0 \cdot \sin(\alpha) = \cos(\alpha) \]

2. \( \cos(\pi + \alpha) \):
Используя формулу синуса суммы углов, мы можем записать:
\[ \cos(\pi + \alpha) = \cos(\pi)\cos(\alpha) - \sin(\pi)\sin(\alpha) = -1 \cdot \cos(\alpha) - 0 \cdot \sin(\alpha) = -\cos(\alpha) \]

3. \( \ctg(2\pi - \alpha) \):
Используя определение котангенса, мы можем записать:
\[ \ctg(2\pi - \alpha) = \frac{\cos(2\pi - \alpha)}{\sin(2\pi - \alpha)} \]
Известно, что \( \cos(2\pi - \alpha) = \cos(-\alpha) = \cos(\alpha) \) и \( \sin(2\pi - \alpha) = \sin(-\alpha) = -\sin(\alpha) \), следовательно:
\[ \ctg(2\pi - \alpha) = \frac{\cos(\alpha)}{-\sin(\alpha)} = -\frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} = -\tg(\alpha) \]

4. \( \tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) \):
Используя формулу тангенса разности углов, мы можем записать:
\[ \tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\tg(\alpha) \]

Теперь, объединяя полученные результаты, мы можем переписать исходное выражение:
\[ \sin(\frac{\pi}{2} + \alpha) + \cos(\pi + \alpha) + \ctg(2\pi - \alpha) + \tg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = \cos(\alpha) - \cos(\alpha) - \tg(\alpha) - \tg(\alpha) \]
\[ = -2\tg(\alpha) \]

Таким образом, переписанный выражение равно \( -2\tg(\alpha) \).