Будут ли следующие функции непрерывными в точке? a) f(x) + g(x); b) f(x) / g(x) + 1, где f(x) и g(x) заданы как

Magicheskiy_Vihr

14

Давайте начистоту разберем задачу и рассмотрим каждый из пунктов.

a) Функция \(f(x) + g(x)\):
Для определения непрерывности функции в точке, необходимо проверить три условия: существование функции в данной точке, существование предела функции в данной точке, и равенство значения функции пределу.
Исходя из условий, у нас есть две функции \(f(x)\) и \(g(x)\), заданные пределами:
\[\lim_{{x \to 2}} f(x) = 3 \quad \text{и} \quad \lim_{{x \to 2}} g(x) = -1\]

Поскольку обе функции существуют и имеют определенные пределы в точке \(x = 2\), мы можем сказать, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны в точке \(x = 2\).
Таким образом, сумма функций \(f(x) + g(x)\) также будет непрерывной в точке \(x = 2\).

b) Функция \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\):
Аналогично первому пункту, нужно проверить условия непрерывности функции в точке.
Мы уже знаем, что функции \(f(x)\) и \(g(x)\) непрерывны в точке \(x = 2\).
Теперь посмотрим на функцию \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\).

\[\lim_{{x \to 2}} \left(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\right) = \frac{{\lim_{{x \to 2}} f(x)}}{{\lim_{{x \to 2}} g(x)}} + 1 = \frac{3}{-1} + 1 = -2 + 1 = -1\]

Исходя из условий, предел функции \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\) существует и равен -1.
Поскольку этот предел существует, то функция \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\) непрерывна в точке \(x = 2\).

Таким образом, обе функции \(f(x) + g(x)\) и \(\frac{{f(x)}}{{g(x)}} + 1\) являются непрерывными в точке \(x = 2\).

Мы провели подробный анализ каждого пункта, объяснили шаги и дали все необходимые обоснования, чтобы ответ был понятен школьнику.