Чему равен косинус угла А, если в треугольнике △АВС угол С равен 90 градусов и соотношение сторон равно 17/15?

Rys

18

Чтобы найти косинус угла А в треугольнике △АВС, нам понадобится соотношение косинуса угла. Формула для этого соотношения звучит так:

\[\cos(A) = \frac{BC}{AB}\]

В данной задаче, сторона АВ является гипотенузой прямоугольного треугольника △АВС, поскольку угол С равен 90 градусов.

Теперь давайте найдем длину сторон АВ и BC. Мы знаем, что их соотношение равно 17/15. Положим длину стороны АВ равной 17х, а длину стороны BC равной 15х, где х - некоторое положительное число.

Применим теорему Пифагора, чтобы выразить сторону АС через стороны АВ и ВС:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

Подставим значения:

\[(17x)^2 = AC^2 + (15x)^2\]

Упростим это уравнение:

\[289x^2 = AC^2 + 225x^2\]

Как говорится в условии задачи, угол С равен 90 градусов, следовательно, сторона АС является гипотенузой △АСВ, и мы можем получить еще одно уравнение, используя теорему Пифагора:

\[AC^2 = AB^2 + BC^2\]

Подставим значения сторон:

\[AC^2 = (17x)^2 + (15x)^2 = 289x^2 + 225x^2 = 514x^2\]

Теперь у нас есть два уравнения:

\[289x^2 = AC^2 + 225x^2\]
\[AC^2 = 514x^2\]

Мы можем приравнять выражения AC^2:

\[AC^2 = AC^2 \Rightarrow 514x^2 = 514x^2\]

Это значит, что наше уравнение верно для любого положительного значения х.

Теперь мы можем найти сторону АС, используя одно из наших уравнений:

\[AC^2 = 514x^2\]

Так как мы ищем косинус угла А, нам нужно найти отношение сторон BC и AB, то есть:

\[\cos(A) = \frac{BC}{AB} = \frac{15x}{17x} = \frac{15}{17}\]

Таким образом, косинус угла А в треугольнике △АВС равен \(\frac{15}{17}\).