Чему равен объем и площадь поверхности тела, возникающего при вращении треугольника с размерами сторон 6 см, 25 см

Sverkayuschiy_Gnom

34

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулы для нахождения объема и площади поверхности тела, возникающего при вращении фигуры вокруг прямой линии.

Начнем с расчета объема. В данной задаче треугольник будет вращаться вокруг прямой линии, проходящей через вершину наименьшего угла. Так как вращается треугольник, возникающее тело будет иметь форму конуса. Формула для расчета объема конуса выглядит следующим образом:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h\]

где \(V\) - объем, \(\pi\) - число Пи (примерно равно 3.14159), \(r\) - радиус основания конуса, \(h\) - высота конуса.

Для нахождения радиуса основания конуса нам понадобится использовать теорему Пифагора, так как треугольник не является прямоугольным. Теорема Пифагора гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

где \(c\) - гипотенуза треугольника, \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

В нашем случае стороны треугольника имеют длины 6 см, 25 см и 29 см. Обозначим стороны треугольника как \(a = 6\) см, \(b = 25\) см и \(c = 29\) см.

Используя теорему Пифагора, найдем значение \(a\) и \(b\):

\[a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{29^2 - 25^2} \approx 12\] см

\[b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{29^2 - 6^2} \approx 28\] см

Теперь у нас есть радиус основания конуса - \(r = 12\) см.

Осталось найти высоту конуса. Высота конуса будет равна длине наименьшей стороны треугольника, так как прямая линия, вокруг которой он вращается, проходит через вершину этой стороны.

Высота конуса будет равна \(h = 6\) см.

Теперь мы можем подставить значения радиуса и высоты в формулу для объема конуса:

\[V = \frac{1}{3}\pi r^2 h = \frac{1}{3} \cdot 3.14159 \cdot 12^2 \cdot 6\] см³

\[V \approx 904.78\] см³

Таким образом, объем тела, возникающего при вращении треугольника вокруг указанной прямой линии, составляет около 904.78 см³.

Теперь перейдем к расчету площади поверхности этого тела. Формула для нахождения площади поверхности конуса выглядит следующим образом:

\[S = \pi r (r + l)\]

где \(S\) - площадь поверхности, \(r\) - радиус основания конуса, \(l\) - образующая конуса.

Для нахождения образующей конуса нам понадобится использовать теорему Пифагора:

\[l = \sqrt{r^2 + h^2}\]

где \(h\) - высота конуса, \(r\) - радиус основания конуса.

Подставим известные значения в формулу:

\[l = \sqrt{12^2 + 6^2}\] см

\[l = \sqrt{144 + 36}\] см

\[l = \sqrt{180}\] см

\[l = 6\sqrt{5}\] см

Теперь мы можем подставить значения радиуса и образующей в формулу для площади поверхности конуса:

\[S = \pi r (r + l) = 3.14159 \cdot 12 (12 + 6\sqrt{5})\] см²

\[S \approx 1135.26\] см²

Таким образом, площадь поверхности тела, возникающего при вращении треугольника вокруг указанной прямой линии, составляет около 1135.26 см².