Чему равна площадь треугольника ACE, если радиус окружности, вписанной вправильный шестиугольник ABCDEF, составляет

Ledyanoy_Vzryv

69

Для начала, давайте разберемся с построением этой задачи.

У нас есть правильный шестиугольник ABCDEF, и описанная окружность этого шестиугольника имеет радиус 1. Примем за O центр этой окружности. Поскольку шестиугольник ABCDEF является правильным, то его стороны равны. Давайте обозначим длину стороны одного треугольника равнобедренного треугольника AC вместе со стороной шестиугольника ABCDEF как s.

Радиус окружности, вписанной в треугольник ACE, является высотой этого треугольника. Так как треугольник ACE равносторонний, его высота перпендикулярна к стороне AE и проходит через центр окружности O.

Чтобы найти площадь треугольника ACE, нам нужно найти длину стороны треугольника ACE. Рассмотрим прямоугольный треугольник ACO, где AC - гипотенуза, AO - катет, а CO - радиус окружности.

Зная, что радиус окружности равен 1, мы можем найти длину катета AO с помощью теоремы Пифагора:

\[AO = \sqrt{AC^2 - CO^2}\]

Поскольку AC равна s, а CO равен 1, мы можем записать:

\[AO = \sqrt{s^2 - 1^2} = \sqrt{s^2 - 1}\]

Теперь мы можем найти длину стороны треугольника ACE, используя равенство треугольника равностороннего треугольника ACE:

\[AE = 2 \times AO = 2 \times \sqrt{s^2 - 1}\]

Так как треугольник ACE - равносторонний, все его стороны равны. Пусть s1 будет длиной одной стороны треугольника ACE:

\[s1 = AE = 2 \times \sqrt{s^2 - 1}\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника ACE, мы можем использовать формулу для площади равностороннего треугольника:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times s1^2\]

Подставляя значение s1, получаем:

\[S = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (2 \times \sqrt{s^2 - 1})^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 \times (s^2 - 1) = \sqrt{3} \times (s^2 - 1)\]

Изначально нам было дано, что радиус окружности, вписанной в шестиугольник ABCDEF, равен 1. Так как ABCDEF - правильный, все его углы равны \(120^\circ\). Поделим окружность на шесть равных дуг, и каждая дуга соответствует \(60^\circ\). Таким образом, внутренний угол треугольника ABC равен \(60^\circ\).

Мы можем использовать связь между радиусом вписанной окружности и стороной правильного шестиугольника, чтобы найти значение s:

\[s = 2 \times r \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 2 \times 1 \times \sin(\frac{\pi}{6}) = 2 \times \frac{1}{2} = 1\]

Теперь мы можем подставить значение s в формулу для площади треугольника ACE:

\[S = \sqrt{3} \times (s^2 - 1) = \sqrt{3} \times (1^2 - 1) = \sqrt{3} \times 0 = 0\]

Таким образом, площадь треугольника ACE равна 0.