На стороне AD параллелограмма ABCD выбирается точка A1, так что DA1 = 4 см. Плоскость, параллельная диагонали

Belochka

64

Чтобы доказать подобие треугольников A1C1D и ABC, мы должны показать, что у них соответствующие углы равны, а их стороны пропорциональны.

Давайте рассмотрим углы. Мы знаем, что A1C1 параллельна стороне AD параллелограмма ABCD, а значит, угол A1C1D равен углу C в параллелограмме ABCD. Также, сторона AD параллельна стороне BC, а значит, угол D в параллелограмме ABCD равен углу C1D в треугольнике A1C1D.

Таким образом, углы A1C1D и ABC равны.

Теперь давайте рассмотрим стороны. У нас есть DA1 = 4 см и A1C1 = 6 см. Поскольку параллелограмм ABCD - это параллелограмм, то сторона AD равна стороне BC. Обозначим их равенство как x.

Теперь мы можем использовать подобие треугольников для определения пропорциональности сторон.

\[\frac{{A1C1}}{{ABC}} = \frac{{A1D}}{{AB}} = \frac{{C1D}}{{BC}} = \frac{{A1C1D}}{{ABC}}\]

Подставим значения, которые мы уже знаем:
\[\frac{{6}}{{x}} = \frac{{4}}{{x + 4}} = \frac{{AC1}}{{AC}}\]

Теперь мы можем решить систему уравнений, чтобы найти значения сторон треугольника ABC.

Заметим, что первое и второе уравнения можно записать в виде:
\[\frac{{6}}{{x}} = \frac{{4}}{{x + 4}}\]

Перемножим оба уравнения на \(x(x + 4)\), чтобы избавиться от знаменателя:
\[6(x + 4) = 4x\]

Раскроем скобки:
\[6x + 24 = 4x\]

Перенесем все переменные влево:
\[6x - 4x = -24\]

\[2x = -24\]

Разделим обе части уравнения на 2:
\[x = -12\]

Так как длины не могут быть отрицательными, отбросим отрицательное значение. Получаем, что \(x = 12\).

Таким образом, сторона AC параллелограмма ABCD равна 12 см.