Чему равна сумма длин сторон четырёхугольника QRST, если диагональ прямоугольника MNKL равна 52,6 см? Запиши ответ

Маруся

61

Чтобы решить эту задачу, нам понадобится знание основных свойств прямоугольников и диагоналей. Для начала, мы можем заметить, что диагональ прямоугольника MNKL является гипотенузой прямоугольного треугольника QMN или треугольника RTN, так как эти треугольники совпадают.

Мы можем воспользоваться теоремой Пифагора, чтобы найти длину одной из сторон прямоугольного треугольника. Пусть стороны прямоугольника MNKL равны a и b, а диагональ равна c. Тогда теорема Пифагора гласит:

\[c^2 = a^2 + b^2\]

Так как диагональ прямоугольника MNKL равна 52,6 см, мы можем записать это уравнение следующим образом:

\[52.6^2 = a^2 + b^2\]

Прежде чем решать это уравнение, давайте посмотрим на четырехугольник QRST. Он состоит из двух прямоугольных треугольников: QMN и RTN. Зная длину гипотенузы каждого из этих треугольников, мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения длин сторон этих треугольников.

Так как каждый из этих треугольников является прямоугольным, то мы можем применить теорему Пифагора к каждому из треугольников:

\[QM^2 = QN^2 + MN^2\]

\[RT^2 = RN^2 + TN^2\]

Теперь давайте назовем неизвестные стороны прямоугольных треугольников QMN и RTN как a и b. Тогда мы можем заметить, что стороны QN и TN равны a, а стороны MN и RN равны b. Теперь мы можем переписать уравнения для каждого из треугольников:

\[QM^2 = a^2 + b^2\]

\[RT^2 = b^2 + a^2\]

У нас есть два уравнения с двумя неизвестными. Чтобы решить эту систему уравнений, давайте найдем их сумму:

\[QM^2 + RT^2 = (a^2 + b^2) + (b^2 + a^2)\]

\[QM^2 + RT^2 = 2a^2 + 2b^2\]

Теперь заметим, что \(a^2 + b^2\) равно \(52.6^2\) (выражение слева в уравнении для прямоугольника MNKL). Заменив это выражение, получим:

\[QM^2 + RT^2 = 2 \cdot 52.6^2\]

Теперь найдем сумму длин сторон четырехугольника QRST, которая равна \(QM + MN + NT + TR\) (заметим, что стороны совпадают с длинами сторон прямоугольных треугольников QMN и RTN):

\[QM + MN + NT + TR = QM + TR + MN + NT\]

Так как четырехугольник QRST является замкнутой фигурой, то мы можем переупорядочить слагаемые так, чтобы получить:

\[QM + TR + MN + NT = QT + QN + MT + RN\]

Теперь давайте подставим в это выражение длины сторон прямоугольных треугольников, найденные ранее с помощью теоремы Пифагора:

\[QT + QN + MT + RN = \sqrt{QM^2 + RT^2} + \sqrt{QN^2 + NT^2} + \sqrt{MN^2 + NT^2} + \sqrt{MT^2 + RN^2}\]

\[QT + QN + MT + RN = \sqrt{2 \cdot 52.6^2} + \sqrt{a^2 + a^2} + \sqrt{b^2 + a^2} + \sqrt{b^2 + b^2}\]

Воспользовавшись выражением для длины стороны прямоугольника MNKL (\(52.6^2 = a^2 + b^2\)), мы можем упростить эту формулу:

\[QT + QN + MT + RN = \sqrt{2 \cdot 52.6^2} + \sqrt{2a^2} + \sqrt{2b^2}\]

Теперь давайте найдем численное значение суммы длин сторон четырехугольника QRST, используя данное значение диагонали прямоугольника MNKL (52,6 см):

\[QT + QN + MT + RN = \sqrt{2 \cdot 52.6^2} + \sqrt{2 \cdot a^2} + \sqrt{2 \cdot b^2}\]

\[QT + QN + MT + RN \approx 131.52 + 1.414 \cdot a + 1.414 \cdot b\]

Таким образом, сумма длин сторон четырехугольника QRST равна примерно 131,52 см плюс 1,414 умножить на длину стороны a плюс 1,414 умножить на длину стороны b.