Чему равно произведение ctg20°, ctg40° и ctg80°?

Ледяной_Волк

18

Для начала давайте объясним, что такое ctg. В тригонометрии ctg (или cot) является тангенсом дополнения угла. Дополнение угла равно 90° минус сам угол.

Теперь решим задачу пошагово.

1. Найдем ctg20°. Дополнение к углу 20° составляет 70°. Таким образом, ctg20° равно tg70°. Мы можем использовать определение тангенса: tg70° = \(\frac{{\sin(70°)}}{{\cos(70°)}}\).

2. Найдем ctg40°. Дополнение к углу 40° составляет 50°. Значит, ctg40° равно tg50°. Используя определение, получим tg50° = \(\frac{{\sin(50°)}}{{\cos(50°)}}\).

3. Найдем ctg80°. Дополнение к углу 80° составляет 10°. Таким образом, ctg80° равно tg10°. Опять же, используем определение тангенса: tg10° = \(\frac{{\sin(10°)}}{{\cos(10°)}}\).

4. Теперь умножим все эти значения: ctg20° * ctg40° * ctg80° = (tg70°) * (tg50°) * (tg10°).

5. Мы можем умножить значения тангенсов, используя тригонометрическую формулу умножения тангенсов: tg(a) * tg(b) = \(\frac{{\sin(a) \cdot \sin(b)}}{{\cos(a) \cdot \cos(b)}}\).

6. Применим эту формулу к нашему случаю: (tg70°) * (tg50°) * (tg10°) = \(\frac{{\sin(70°) \cdot \sin(50°) \cdot \sin(10°)}}{{\cos(70°) \cdot \cos(50°) \cdot \cos(10°)}}\).

7. Вычислим значения синусов и косинусов, используя таблицу значений или калькулятор. Получим:
\(\frac{{\sin(70°) \cdot \sin(50°) \cdot \sin(10°)}}{{\cos(70°) \cdot \cos(50°) \cdot \cos(10°)}} \approx 0.6762\).

Таким образом, произведение ctg20°, ctg40° и ctg80° равно приблизительно 0.6762.