Чему равно выражение 2sin^2 x-2/cos^2 x при x=п/8?

Rys

6

Чтобы решить данное выражение, мы будем использовать значения синуса и косинуса угла \( \frac{\pi}{8} \).

Давайте начнем с подстановки \( x = \frac{\pi}{8} \) в данное выражение:

\[ 2\sin^2 \frac{\pi}{8} - \frac{2}{\cos^2 \frac{\pi}{8}} \]

Для начала, найдем значение синуса и косинуса угла \( \frac{\pi}{8} \). Для этого используем тригонометрическую окружность или треугольник.
В нашем случае, значение синуса угла \( \frac{\pi}{8} \) равно \( \frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2} \), а значение косинуса угла \( \frac{\pi}{8} \) равно \( \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \).

Теперь подставим значения синуса и косинуса в исходное выражение:

\[ 2\left(\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\right)^2 - \frac{2}{\left(\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\right)^2} \]

Сначала упростим квадраты:

\[ 2\left(\frac{2-\sqrt{2}}{4}\right) - \frac{2}{\left(\frac{2+\sqrt{2}}{4}\right)} \]

Теперь проведем дальнейшие вычисления:

\[ \frac{2(2-\sqrt{2})}{4} - \frac{8}{2+\sqrt{2}} \]

\[ \frac{4-2\sqrt{2}}{2} - \frac{8}{2+\sqrt{2}} \]

Мы можем упростить это выражение, переведя в общий знаменатель:

\[ \frac{(4-2\sqrt{2})(2+\sqrt{2})}{2(2+\sqrt{2})} - \frac{8}{2+\sqrt{2}} \]

\[ \frac{(8-4\sqrt{2}+2\sqrt{2}-2)}{2(2+\sqrt{2})} - \frac{8}{2+\sqrt{2}} \]

\[ \frac{(6-2\sqrt{2})}{2(2+\sqrt{2})} - \frac{8}{2+\sqrt{2}} \]

\[ \frac{6-2\sqrt{2}-8}{2(2+\sqrt{2})} \]

\[ \frac{-2\sqrt{2}-2}{2(2+\sqrt{2})} \]

Мы можем дальше упростить числитель:

\[ \frac{-2(\sqrt{2}+1)}{2(2+\sqrt{2})} \]

Исключим общий множитель 2:

\[ \frac{-(\sqrt{2}+1)}{2+\sqrt{2}} \]

При таком значении \( x = \frac{\pi}{8} \), выражение \( 2\sin^2 x - \frac{2}{\cos^2 x} \) равно \( -(\sqrt{2}+1) \div (2+\sqrt{2}) \).

Таким образом, ответ на данную задачу при \( x = \frac{\pi}{8} \) равен \( -(\sqrt{2}+1) \div (2+\sqrt{2}) \).