Чему равно выражение: (5, возведенное в степень log_3(7))^log_5(3)?

Ледяной_Подрывник

33

Хорошо, давайте рассмотрим данное выражение по шагам.

Пусть \(x = \log_3(7)\), тогда мы можем переписать заданное выражение следующим образом:

\((5^{\log_3(7)})^{\log_5(3)}\)

Заметим, что внутреннее выражение в скобках может быть записано в виде \(a^{\log_a(b)} = b\), если \(a > 0\) and \(a \neq 1\). Поэтому:

\(5^{\log_3(7)} = 7\)

Теперь мы можем подставить это новое значение в исходное выражение:

\((5^{\log_3(7)})^{\log_5(3)} = 7^{\log_5(3)}\)

Осталось выразить основание и показатель степени через общую основу 10. Для этого воспользуемся свойством логарифма, которое гласит, что \(\log_a(b) = \frac{{\log_c(b)}}{{\log_c(a)}}\), где \(c\) - произвольное основание. Воспользуемся основанием 10:

\(7^{\log_5(3)} = 10^{\log_{10}(7^{\log_5(3)})}\)

Применим свойство логарифма к показателю степени:

\(10^{\log_{10}(7^{\log_5(3)})} = 10^{\frac{{\log_{10}(7)}}{{\log_{10}(5)}} \cdot \log_{10}(3)}\)

Теперь мы можем упростить это выражение, заметив, что \(\log_{10}(7^{\log_5(3)}) = \log_{10}(7) \cdot \log_{10}(3)\). Подставим этот результат в исходное выражение:

\(10^{\frac{{\log_{10}(7)}}{{\log_{10}(5)}} \cdot \log_{10}(3)} = 10^{\log_{10}(7) \cdot \log_{10}(3)} = 7 \cdot 3\)

Итак, мы получили окончательный ответ: выражение \((5^{\log_3(7)})^{\log_5(3)}\) равно 21.

Надеюсь, это пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ. Если остались вопросы, пожалуйста, задайте.