Чему равно выражение (n^{5/6} / n^{1/12} * n^{1/4}) при n=64?

Луна_В_Омуте

16

Хорошо! Давайте решим эту задачу пошагово.

Выражение, которое дано в задаче, выглядит следующим образом: \(\frac{{n^{\frac{5}{6}}}}{{n^{\frac{1}{12}}} \cdot n^{\frac{1}{4}}}\), где \(n = 64\).

1. Для начала, заменим значение \(n\) на 64 в выражении: \(\frac{{64^{\frac{5}{6}}}}{{64^{\frac{1}{12}}} \cdot 64^{\frac{1}{4}}}\).

2. После замены, упростим выражение в числителе: \(64^{\frac{5}{6}}\). Чтобы упростить это, мы используем свойство степени, где \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\). Здесь \(a = 64\), \(m = \frac{5}{6}\) и \(n = \frac{1}{12}\). Значит, \(64^{\frac{5}{6}}\) можно представить как \(64^{\frac{1}{6} + \frac{4}{6}}\).

3. Продолжая упрощение, мы можем записать это выражение как \(64^{\frac{1}{6}} \cdot 64^{\frac{4}{6}}\). Затем, выполнив степени, получим \(2 \cdot 64^{\frac{2}{3}}\).

4. Теперь заменим значения \(\frac{1}{12}\) и \(\frac{1}{4}\) в знаменателе. Опять же, применим свойства степеней и получим \(64^{\frac{2}{12}} \cdot 64^{\frac{3}{12}}\), что равносильно \(64^{\frac{5}{12}}\).

5. Теперь у нас есть следующее выражение: \(\frac{{2 \cdot 64^{\frac{2}{3}}}}{{64^{\frac{5}{12}}}}\).

6. Заменим значение \(64^{\frac{2}{3}}\). Здесь получим \(2 \cdot 4^2\) поскольку \(64 = 4^3\) (т.к. \(\frac{2}{3}\) и \(\frac{2}{3} \cdot 3 = 2\)).

7. Мы также знаем, что \(64 = 4^3\) и \(64^{\frac{5}{12}} = (4^3)^{\frac{5}{12}}\). Представим это как \(2 \cdot 4^2 \div 4^{\frac{5}{12}}\).

8. Объединим подобные слагаемые в числителе и общие основания в знаменателе. Таким образом, получим \(2 \cdot 4^{2-{\frac{5}{12}}}\).

9. Чтобы продолжить упрощение, вычислим значение показателя степени \(2-{\frac{5}{12}}\). Для этого найдем общий знаменатель дроби и выполним вычитание. Знаменатель равен 12, поэтому \(\frac{5}{12}\) станет \(\frac{10}{24}\).

10. Вычитание: \(2-\frac{10}{24} = \frac{48}{24} - \frac{10}{24} = \frac{38}{24}\).

11. И наконец, подставим значение показателя степени обратно в выражение: \(2 \cdot 4^{\frac{38}{24}}\).

Итак, ответ на эту задачу равен \(2 \cdot 4^{\frac{38}{24}}\) при \(n=64\).