Чему равно значение cos^2B в треугольнике ABC, где ∠C=90° и sinB=32–√10?

Horek

26

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о связи тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике. Давайте используем данные, которые у нас уже есть, чтобы найти значение cos^2B.

Мы знаем, что в треугольнике ABC угол C равен 90°. Это означает, что треугольник ABC является прямоугольным треугольником, где угол C является прямым углом.

Мы также знаем, что sinB равно 32–√10. Чтобы найти значение cosB, мы можем использовать соотношение между синусом и косинусом в прямоугольном треугольнике: sinB = противолежащий катет / гипотенуза, где B - один из острых углов треугольника ABC.

В нашем случае противолежащим катетом является сторона AC, а гипотенузой является сторона AB треугольника ABC.

Теперь мы можем решить эту задачу, найдя значение cosB.

Для начала найдем значение гипотенузы AB треугольника ABC, используя теорему Пифагора: гипотенуза^2 = катет1^2 + катет2^2.

Поскольку треугольник ABC является прямоугольным, мы можем использовать это выражение: AB^2 = AC^2 + BC^2.

Учитывая, что угол C равен 90°, мы можем найти значение катета AC, используя определение синуса: sinB = AC / AB.

Легко видеть, что BC будет прямым катетом в этом случае.

Для нахождения катета BC мы можем использовать теорему Пифагора: BC^2 = AB^2 - AC^2.

Разрешим эти уравнения:

1. Найдем катет AC:
sinB = 32–√10 = AC / AB.

2. Найдем гипотенузу AB:
AB^2 = AC^2 + BC^2.

3. Найдем катет BC:
BC^2 = AB^2 - AC^2.

Теперь, когда у нас есть значения AC, AB и BC, мы можем найти значение cosB.

Чтобы это сделать, мы можем использовать следующее соотношение: cosB = прилежащий катет / гипотенуза.

В нашем случае прилежащим катетом является сторона BC, а гипотенузой является сторона AB треугольника ABC.

Разрешим эту задачу:

cosB = BC / AB.

Таким образом, мы можем найти значение cosB, используя найденные значения.

Помимо этого, учитывая найденное значение cosB, мы можем вычислить значение cos^2B, возводя его в квадрат: cos^2B = (cosB)^2.

В итоге, чтобы получить окончательный ответ на задачу, следует найти значение cosB и возвести его в квадрат.