Чему равно значение выражения X в кубе у, плюс х у в кубе, при условии x минус у равно 4 и х у равно

Рак

39

Давайте решим данную задачу по шагам, чтобы ответ был понятен. У нас дано выражение \(x^3y + xy^3\), и нам нужно найти его значение при условии \(x - y = 4\) и \(xy = 2\).

Шаг 1: Решим систему уравнений \(x - y = 4\) и \(xy = 2\) для нахождения значений \(x\) и \(y\).

Мы можем решить систему уравнений двумя способами: подставить одно уравнение в другое или использовать методы факторизации.

Воспользуемся методом подстановки: решим первое уравнение относительно \(x\) и подставим его во второе уравнение.

\(x - y = 4\)
\(x = 4 + y\)

Теперь подставим \(x\) во второе уравнение:

\(xy = 2\)
\((4 + y)y = 2\)
\(4y + y^2 = 2\)
\(y^2 + 4y - 2 = 0\)

Шаг 2: Решим полученное квадратное уравнение \(y^2 + 4y - 2 = 0\).

Мы можем использовать квадратное уравнение, чтобы решить это.

Применим формулу дискриминанта к нашему уравнению:

\(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 4\) и \(c = -2\).

\(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2)\)
\(D = 16 + 8\)
\(D = 24\)

Используем формулы для нахождения \(y\):

\(y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a}\), \(y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a}\)

\(y_1 = \frac{-4 + \sqrt{24}}{2 \cdot 1}\)
\(y_1 = \frac{-4 + 2\sqrt{6}}{2}\)
\(y_1 = -2 + \sqrt{6}\)

\(y_2 = \frac{-4 - \sqrt{24}}{2 \cdot 1}\)
\(y_2 = \frac{-4 - 2\sqrt{6}}{2}\)
\(y_2 = -2 - \sqrt{6}\)

Шаг 3: Теперь найдем значение \(x\) при помощи \(x = 4 + y\), используя оба значения \(y_1\) и \(y_2\).

Для \(y_1\):
\(x_1 = 4 + (-2 + \sqrt{6})\)
\(x_1 = 2 + \sqrt{6}\)

Для \(y_2\):
\(x_2 = 4 + (-2 - \sqrt{6})\)
\(x_2 = 2 - \sqrt{6}\)

Итак, мы получили две пары значений: \(x_1 = 2 + \sqrt{6}\) и \(y_1 = -2 + \sqrt{6}\), а также \(x_2 = 2 - \sqrt{6}\) и \(y_2 = -2 - \sqrt{6}\).

Теперь мы можем подставить эти значения \(x\) и \(y\) в исходное выражение \(x^3y + xy^3\).

Подставим значения \(x_1\) и \(y_1\):

\((2 + \sqrt{6})^3(-2 + \sqrt{6}) + (2 + \sqrt{6})(-2 + \sqrt{6})^3\)

И подставим значения \(x_2\) и \(y_2\):

\((2 - \sqrt{6})^3(-2 - \sqrt{6}) + (2 - \sqrt{6})(-2 - \sqrt{6})^3\)

Теперь мы можем вычислить и получить решение.