Как найти значение функции Ctg^2(630° + 2x), если cos x = 0.5?

Звездная_Галактика_450

45

Для решения этой задачи мы должны использовать тригонометрические идентичности и известные значения функций тангенса и косинуса.

Известно, что косинус x равен 0.5. Мы можем использовать эту информацию, чтобы найти синус x. Для этого будем использовать тригонометрическую идентичность \(\sin^2 x + \cos^2 x = 1\):

\(\sin^2 x = 1 - \cos^2 x\)

\(\sin^2 x = 1 - 0.5^2\)

\(\sin^2 x = 1 - 0.25\)

\(\sin^2 x = 0.75\)

Затем мы можем найти значение функции котангенса. Формула для котангенса - это обратное значение тангенса:

\(\cot x = \frac{1}{\tan x}\)

Так как мы ищем значение функции \(Ctg^2(630° + 2x)\), мы можем использовать следующую идентичность:

\(Ctg^2(630° + 2x) = \frac{1}{\tan^2(630° + 2x)}\)

Заметим, что \(630° + 2x\) принадлежит третьему квадранту, где косинус отрицателен и синус отрицателен. Так как \(cos x = 0.5 > 0\), а синус x положителен (\(\sin^2 x = 0.75 > 0\)), мы можем сказать, что \(x\) принадлежит четвертому квадранту.

Теперь мы знаем, что функция тангенса будет отрицательной в четвертом квадранте. Мы можем выразить тангенс x:

\(\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}\)

\(\tan x = \frac{-\sqrt{0.75}}{0.5} = -\sqrt{3}\)

Итак, мы получили, что \(\tan x = -\sqrt{3}\) в четвертом квадранте.

Теперь мы можем получить ответ, используя нашу идентичность:

\(Ctg^2(630° + 2x) = \frac{1}{\tan^2(630° + 2x)}\)

\(Ctg^2(630° + 2x) = \frac{1}{{(-\sqrt{3})}^2}\)

\(Ctg^2(630° + 2x) = \frac{1}{3}\)

Таким образом, значение функции \(Ctg^2(630° + 2x)\), когда \(\cos x = 0.5\), равно \(\frac{1}{3}\).